Verifique em cada caso se f é um homomorfismo. Em caso afirmativo, determinar se é injetor e sobrejetor e encontrar o núcleo de cada um deles.
f: Z Z dada por f(x)=k x, sendo Z o grupo aditivo dos inteiros e k um inteiro dado.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
fcolon ZtoZ, f(x)=k,x
é homomorfismo de grupos abelianos (adição em Z), e em caso afirmativo determinar se é injetora, sobrejetora e qual é o seu núcleo.

Passo 2

Para ver se f é homomorfismo, basta checar que ela preserva a operação de soma. Tomando x,yinZ, temos
f(x+y)=k,(x+y)=k,x+k,y=f(x)+f(y)
Logo, para todo inteiro k, f é homomorfismo de Z em Z.

Passo 3

O núcleo de f é
ker(f)=xinZmid f(x)=0=xinZmid k,x=0
Se k=0, então k,x=0 para todo x, de modo que ker(f)=Z. Se kneq0, a única solução de k,x=0 em Z é x=0, logo ker(f)=0. Como um homomorfismo é injetor se e somente se o seu núcleo é trivial, concluímos:
  • f é injetora se e somente se kneq0.

Passo 4

A imagem de f é
Im(f)=k,xmid xinZ=kZ
Para que f seja sobrejetora em Z precisamos de kZ=Z, o que ocorre exatamente quando k=pm1. Caso lvert krvert>=2 ou k=0, a imagem é um subconjunto próprio de Z, logo não é sobrejetora.

Resposta

  • Para todo k, f é homomorfismo.
  • f é injetora se, e somente se, k neq 0.
  • f é sobrejetora se, e somente se, k = pm 1.
  • ker(f) = Z, & k=0, 0, & k neq 0

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