Verifique em cada caso se
é um homomorfismo. Em caso afirmativo, determinar se é injetor e sobrejetor e encontrar o núcleo de cada um deles.
dada por
, sendo
o grupo aditivo dos inteiros e
um inteiro dado.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é homomorfismo de grupos abelianos (adição em
), e em caso afirmativo determinar se é injetora, sobrejetora e qual é o seu núcleo.
Passo 2
Para ver se
é homomorfismo, basta checar que ela preserva a operação de soma. Tomando
, temos
Logo, para todo inteiro
,
é homomorfismo de
em
.
Passo 3
O núcleo de
é
Se
, então
para todo
, de modo que
. Se
, a única solução de
em
é
, logo
. Como um homomorfismo é injetor se e somente se o seu núcleo é trivial, concluímos:
-
é injetora se e somente se .
Passo 4
A imagem de
é
Para que
seja sobrejetora em
precisamos de
, o que ocorre exatamente quando
. Caso
ou
, a imagem é um subconjunto próprio de
, logo não é sobrejetora.
Resposta
- Para todo
, é homomorfismo. -
é injetora se, e somente se, . -
é sobrejetora se, e somente se, . -