Mostre que o conjunto das matrizes do tipo com a, b in R e a e b não simultaneamente nulos, constitui um subgrupo do grupo multiplicativo G L2(R) das matrizes reais e inversíveis do tipo 2 times 2.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
H = la & b -b & am|a,bin R,;(a,b)neq(0,0)r
é um subgrupo de GL2( R).
O conteúdo é teoria de grupos (subgrupos) e vamos usar o critério de subgrupo:
H não é vazio e contém a identidade;
H é fechado sob o produto;
H é fechado sob o inverso.
Passo 2
Identidade em GL2( R) é
I2 = 1 & 0 0 & 1
Tomando a=1, b=0 vemos que I2in H. Assim H não é vazio e já contém o elemento neutro.
Passo 3
Fechamento sob produto. Defina
M(a,b)=a & b -b & a, M(c,d)=c & d -d & c
Então
M(a,b),M(c,d) =a & b -b & a c & d -d & c =ac - bd & ad + bc -(ad + bc) & ac - bd
Ou seja,
M(a,b),M(c,d) = Ml(ac - bd,;ad + bcr)
Como det M(a,b)=a^2+b^2neq0 e det M(c,d)=c^2+d^2neq0, segue
detl(M(a,b)M(c,d)r) =(a^2+b^2)(c^2+d^2)neq0,
logo l(ac-bd,,ad+bcr)neq(0,0) e o produto pertence a H.
Passo 4
Fechamento sob inverso. Para M(a,b)in H, temos
det M(a,b)=a^2+b^2neq0
e a inversa em GL2( R) é
M(a,b)^-1 =1a^2+b^2 a & -b b & a =;M!l(tfracaa^2+b^2,,-tfracba^2+b^2r)
Como o denominador a^2+b^2 é não nulo, o par l(tfracaa^2+b^2,-tfracba^2+b^2r)neq(0,0) e portanto M(a,b)^-1in H.
Resposta
Pelos passos acima, H satisfaz o critério de subgrupo: contém a identidade, é fechado sob produto e possui inversos em H. Logo