Seja G=G L(n, R), n >= 2, o conjunto de todas as matrizes n times n invertíveis com coeficientes em R, verifique que:
i) G é um grupo;
ii) H=A in G L(n, R): det A=1 é um subgrupo de G L(n, R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que G = GL(n,R) é um grupo sob multiplicação de matrizes e que
H = A in GL(n,R) : det A = 1
é um subgrupo de G. O que vamos usar é a definição de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso) e as propriedades do determinante (multiplicatividade e relação com inversas).

Passo 2

(Propriedade de fechamento)
Sejam A,B in G. Como são invertíveis, det Aneq 0 e det Bneq 0. Então
det(AB) = det(A),det(B) neq 0,
logo AB também é invertível e ABin G. Assim G é fechado sob multiplicação.

Passo 3

(Associatividade e elemento neutro)
A multiplicação de matrizes é sempre associativa, isto é, para quaisquer A,B,Cin G vale
(AB)C = A(BC)
Além disso, a matriz identidade In satisfaz
In A = A In = A
para todo Ain G, sendo portanto o elemento neutro.

Passo 4

(Existência de inverso)
Por definição de GL(n,R), cada Ain G já é invertível, ou seja, existe A^-1 tal que
A,A^-1 = A^-1A = In
Portanto todo elemento de G tem inverso em G.

Passo 5

(Prova de que H é subgrupo)
  1. Hneqemptyset pois Inin H e det(In)=1.
  2. Se A,Bin H então det A=1 e det B=1, daí
det(AB)=det A,det B=1cdot1=1,
logo ABin H.
3. Se Ain H então det A=1 e, como det(A^-1)=(det A)^-1, segue det(A^-1)=1, ou seja, A^-1in H.
Esses três fatos garantem que H é subgrupo de G.

Resposta

i) G é um grupo sob multiplicação de matrizes.
ii) H é um subgrupo de G.

Exercícios relacionados