Seja
, o conjunto de todas as matrizes
invertíveis com coeficientes em
, verifique que:
i)
é um grupo;
ii)
é um subgrupo de
.
i)
ii)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
é um grupo sob multiplicação de matrizes e que
é um subgrupo de
. O que vamos usar é a definição de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso) e as propriedades do determinante (multiplicatividade e relação com inversas).
Passo 2
(Propriedade de fechamento)
Sejam . Como são invertíveis,
e
. Então
Sejam
logo
também é invertível e
. Assim
é fechado sob multiplicação.
Passo 3
(Associatividade e elemento neutro)
A multiplicação de matrizes é sempre associativa, isto é, para quaisquer vale
A multiplicação de matrizes é sempre associativa, isto é, para quaisquer
Além disso, a matriz identidade
satisfaz
para todo
, sendo portanto o elemento neutro.
Passo 4
(Existência de inverso)
Por definição de , cada
já é invertível, ou seja, existe
tal que
Por definição de
Portanto todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 5
(Prova de que
é subgrupo)
-
pois e . - Se
então e , daí
logo
.
3. Se então
e, como
, segue
, ou seja,
.
Esses três fatos garantem que é subgrupo de
.
3. Se
Esses três fatos garantem que
Resposta
i)
é um grupo sob multiplicação de matrizes.
ii) é um subgrupo de
.
ii)