(0,25 ponto cada item) Determine se cada sequência converge ou diverge onde o n-ésimo termo está definido abaixo. Se convergir, calcule seu limite.
a_{n}=n \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n}=n\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
quando n\to\infty. O conteúdo aqui é limites de sequência, em especial usamos o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.

Passo 2

Observe que, quando n\to\infty, temos 1/n\to0. Logo podemos reescrever
a_{n} = n\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) = \frac{\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}}.

Passo 3

Aplicando o limite fundamental com x=1/n e x\to0 conforme n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)}{\tfrac{1}{n}} =1.
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}n\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)=1.

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