(0,5 ponto) Faça o que se pede. Use a definição de sequências de somas parciais e decida se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente, usando a definição de sequência de somas parciais. Vamos precisar:
- Definir a soma parcial
. - Encontrar uma forma telescópica (parcial frações) para simplificar
. - Calcular
.
Passo 2
Aplicamos frações parciais em cada termo genérico:
Multiplicando por
obtemos
Para todos
, igualamos coeficientes:
,
constante:; .
Substituindo em
dá
,
.
Logo
constante:;
Substituindo
Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial
Esse somatório é telescópico, pois muitos termos se cancelam. Escrevendo alguns termos:
Cancelam-se intercaladamente todos os termos internos, sobrando
Passo 4
Calculamos o limite da sequência de somas parciais:
Como esse limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série é convergente e sua soma vale
.