(0,5 ponto) Faça o que se pede. Use a definição de sequências de somas parciais e decida se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)} é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}
é convergente ou divergente, usando a definição de sequência de somas parciais. Vamos precisar:
  1. Definir a soma parcial S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}.
  2. Encontrar uma forma telescópica (parcial frações) para simplificar S_{N}.
  3. Calcular \displaystyle\lim_{N\to\infty}S_{N}.

Passo 2

Aplicamos frações parciais em cada termo genérico:
\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} =\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}.
Multiplicando por (2n+1)(2n+3) obtemos
1=A(2n+3)+B(2n+1).
Para todos n, igualamos coeficientes: 2n:\;2A+2B=0\implies A=-B,
constante:; 3A+ B=1.
Substituindo B=-A em 3A+B=1 3A - A=1\implies A=\tfrac12, B=-\tfrac12.
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\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} =\frac12\Bigl(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\Bigr).

Passo 3

Definimos a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} =\frac12\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\Bigr).
Esse somatório é telescópico, pois muitos termos se cancelam. Escrevendo alguns termos:
S_{N} =\frac12\bigl[(\tfrac13-\tfrac15)+(\tfrac15-\tfrac17)+\cdots+(\tfrac{1}{2N+1}-\tfrac{1}{2N+3})\bigr].
Cancelam-se intercaladamente todos os termos internos, sobrando
S_{N} =\frac12\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{2N+3}\Bigr).

Passo 4

Calculamos o limite da sequência de somas parciais:
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\lim_{N\to\infty}\frac12\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{2N+3}\Bigr) =\frac12\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{6}.
Como esse limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série é convergente e sua soma vale \tfrac{1}{6}.

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