Em uma placa, a temperatura é modelada por
. Considere o ponto ( 1,0 ). Calcule a derivada direcional de
em ( 1,0 ) na direção que forma
com o eixo
positivo (isto é, na direção do vetor unitário
). Diga se
aumenta ou diminui nessa direção e a que taxa.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada direcional de
em
na direção do vetor unitário
.
Para isso, vamos calcular o gradiente de e depois fazer o produto escalar com
.
Para isso, vamos calcular o gradiente de
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Avaliamo-las no ponto
. Como
,
e
, temos
Logo
.
Passo 4
O vetor unitário é
.
A derivada direcional é
A derivada direcional é
Passo 5
Numericamente
, que é negativo. Portanto,
diminui nessa direção.
Resposta
Como o valor é negativo,
diminui nessa direção à taxa de
unidades de temperatura por unidade de deslocamento.