Em uma placa, a temperatura é modelada por T(x, y)=e^{-x} \sin y+\sin \left(1+x^{2}+y^{2}\right). Considere o ponto ( 1,0 ). Calcule a derivada direcional de T em ( 1,0 ) na direção que forma 60^{\circ} com o eixo x positivo (isto é, na direção do vetor unitário \mathbf{u}=\left(\cos 60^{\circ}, \sin 60^{\circ}\right) ). Diga se T aumenta ou diminui nessa direção e a que taxa.

Passo 1

O enunciado dá a função
T(x,y)=e^{-x}\sin y+\sin\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)
e pede a derivada direcional de T em (1,0) na direção do vetor unitário \mathbf{u}=(\cos60^\circ,\sin60^\circ).
Para isso, vamos calcular o gradiente de T e depois fazer o produto escalar com \mathbf{u}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de T:
\frac{\partial T}{\partial x} =-e^{-x}\sin y +2x\cos\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr),
\frac{\partial T}{\partial y} =e^{-x}\cos y +2y\cos\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 3

Avaliamo-las no ponto (1,0). Como \sin0=0, \cos0=1 e 1+1^{2}+0^{2}=2, temos
\frac{\partial T}{\partial x}(1,0) =0+2\cos2 =2\cos2,
\frac{\partial T}{\partial y}(1,0) =e^{-1}\cdot1+0 =\frac1e.
Logo \nabla T(1,0)=(2\cos2,\tfrac1e).

Passo 4

O vetor unitário é \mathbf{u}=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}).
A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}T(1,0) =\nabla T(1,0)\cdot\mathbf{u} =2\cos2\cdot\tfrac12+\tfrac1e\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} =\cos2+\frac{\sqrt3}{2e}.

Passo 5

Numericamente \cos2+\frac{\sqrt3}{2e}\approx-0,0974, que é negativo. Portanto, T diminui nessa direção.

Resposta

D_{\mathbf{u}}T(1,0) =\cos2+\frac{\sqrt3}{2e}\approx-0,0974.
Como o valor é negativo, T diminui nessa direção à taxa de 0,0974 unidades de temperatura por unidade de deslocamento.

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