Um veículo percorre dois trechos retilíneos de comprimentos d_{1} e d_{2}(\mathrm{em} \mathrm{km}). O consumo por quilômetro, quando trafega a velocidade v>0(\mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h}), é dado por uma função do tipo
f(v)=a v^{2}+\frac{b}{v},
com a, b>0 (unidades consistentes).
Sabe-se que o tempo total disponível para percorrer os dois trechos é T horas, e que as velocidades escolhidas para cada trecho são v_{1} e v_{2}.
(a) Modele o problema de otimização: escreva a função objetivo F\left(v_{1}, v_{2}\right), que representa o consumo total, e a restrição que envolve d_{1}, d_{2}, T, v_{1}, v_{2}.
(b) Usando multiplicadores de Lagrange, determine as velocidades v_{1} e v_{2} que minimizam o consumo total.
(c) Com d_{1}=60 \mathrm{~km}, d_{2}=40 \mathrm{~km}, T=2,0 \mathrm{~h}, a=2 \times 10^{-4} e b=5, calcule as velocidades ótimas e o consumo total mínimo.

Passo 1

O enunciado trata de minimizar o consumo de combustível de um veículo que percorre dois trechos retilíneos de comprimentos d_{1} e d_{2}. A taxa de consumo por quilômetro ao trafegar à velocidade v>0 é
f(v)=a\,v^{2}+\frac{b}{v},
com a,b>0. Sabe-se que o tempo total para percorrer os dois trechos é T horas, usando velocidades v_{1} e v_{2}.
Conteúdo: otimização com restrição de igualdade via multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

A função objetivo (consumo total) é
F(v_{1},v_{2})=d_{1}\,f(v_{1})+d_{2}\,f(v_{2}) =d_{1}\Bigl(a\,v_{1}^{2}+\frac{b}{v_{1}}\Bigr) +d_{2}\Bigl(a\,v_{2}^{2}+\frac{b}{v_{2}}\Bigr).
A restrição de tempo é
\frac{d_{1}}{v_{1}}+\frac{d_{2}}{v_{2}}=T.

Passo 3

Formamos o Lagrangiano
\mathcal{L}(v_{1},v_{2},\lambda) =F(v_{1},v_{2})+\lambda\Bigl(\frac{d_{1}}{v_{1}}+\frac{d_{2}}{v_{2}}-T\Bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_{1}} =d_{1}\bigl(2a\,v_{1}-\tfrac{b}{v_{1}^{2}}\bigr) -\lambda\,\frac{d_{1}}{v_{1}^{2}}=0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_{2}} =d_{2}\bigl(2a\,v_{2}-\tfrac{b}{v_{2}^{2}}\bigr) -\lambda\,\frac{d_{2}}{v_{2}^{2}}=0.
Isolando \lambda em cada uma e igualando, obtém-se
2a\,v_{1}^{3}-b \;=\;2a\,v_{2}^{3}-b \quad\Longrightarrow\quad v_{1}^{3}=v_{2}^{3} \quad\Longrightarrow\quad v_{1}=v_{2}.

Passo 4

Como v_{1}=v_{2}=v, a restrição de tempo fica
\frac{d_{1}+d_{2}}{v}=T \quad\Longrightarrow\quad v=\frac{d_{1}+d_{2}}{T}.
Logo as velocidades ótimas nos dois trechos são iguais a \tfrac{d_{1}+d_{2}}{T}, e o consumo mínimo é
F_{\min} =(d_{1}+d_{2})\Bigl(a\,v^{2}+\frac{b}{v}\Bigr) =(d_{1}+d_{2})\Bigl(a\frac{(d_{1}+d_{2})^{2}}{T^{2}}+b\frac{T}{d_{1}+d_{2}}\Bigr).

Passo 5

Para d_{1}=60, d_{2}=40, T=2{,}0, a=2\times10^{-4} e b=5:
v=\frac{60+40}{2}=50\\ (\text{km/h}).
O consumo mínimo vale
F_{\min} =100\Bigl(2\times10^{-4}\times50^{2}+\frac{5}{50}\Bigr) =100\bigl(0{,}5+0{,}1\bigr) =100\times0{,}6 =60.

Resposta

As velocidades ótimas são
v_{1}=v_{2}=50\\ \text{km/h},
e o consumo total mínimo é 60 (unidades de consumo).

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