Um veículo percorre dois trechos retilíneos de comprimentos
e
. O consumo por quilômetro, quando trafega a velocidade
, é dado por uma função do tipo
com
(unidades consistentes).
Sabe-se que o tempo total disponível para percorrer os dois trechos é
horas, e que as velocidades escolhidas para cada trecho são
e
.
(a) Modele o problema de otimização: escreva a função objetivo
, que representa o consumo total, e a restrição que envolve
.
(b) Usando multiplicadores de Lagrange, determine as velocidades
e
que minimizam o consumo total.
(c) Com
e
, calcule as velocidades ótimas e o consumo total mínimo.
Sabe-se que o tempo total disponível para percorrer os dois trechos é
(a) Modele o problema de otimização: escreva a função objetivo
(b) Usando multiplicadores de Lagrange, determine as velocidades
(c) Com
Passo 1
O enunciado trata de minimizar o consumo de combustível de um veículo que percorre dois trechos retilíneos de comprimentos
e
. A taxa de consumo por quilômetro ao trafegar à velocidade
é
com
. Sabe-se que o tempo total para percorrer os dois trechos é
horas, usando velocidades
e
.
Conteúdo: otimização com restrição de igualdade via multiplicadores de Lagrange.
Conteúdo: otimização com restrição de igualdade via multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
A função objetivo (consumo total) é
A restrição de tempo é
Passo 3
Formamos o Lagrangiano
As condições de primeira ordem são
Isolando
em cada uma e igualando, obtém-se
Passo 4
Como
, a restrição de tempo fica
Logo as velocidades ótimas nos dois trechos são iguais a
, e o consumo mínimo é
Passo 5
Para
,
,
,
e
:
O consumo mínimo vale
Resposta
As velocidades ótimas são
e o consumo total mínimo é
(unidades de consumo).