Suponha que desejamos encontrar um zero positivo para a mesma função do exercício anterior
usando um método de Ponto Fixo (diferente do método de Newton), partindo de
.
(A) [2 pontos]
Verifique se é possível assegurar convergência para o método do Ponto Fixo utilizando a seguinte função de iteração
com
para o zero de
que está no intervalo
.
Justifique sem executar/realizar iterações ; exiba a análise completa da condição de convergência. Você pode afirmar que o método irá convergir com essa
?
(B)
ponto
Partindo de
, busque obter
(terceiro iterando) usando o método do Ponto Fixo com a função de iteração
do item anterior.
Obs.: Execute as iterações independentemente do que você concluiu no item anterior.
(A) [2 pontos]
Justifique sem executar/realizar iterações ; exiba a análise completa da condição de convergência. Você pode afirmar que o método irá convergir com essa
(B)
Obs.: Execute as iterações independentemente do que você concluiu no item anterior.
Passo 1
O enunciado pede para estudar se a iteração
é contratante em
de modo a garantir convergência ao zero positivo de
. Depois, mesmo que não convirja, devemos calcular
a partir de
.
Passo 2
O Teorema do Ponto Fixo de Banach diz que, se
for contínua em
, mapear o intervalo em si mesmo, isto é,
e satisfizer
então existe único ponto fixo em
e a iteração
converge para esse ponto fixo a partir de qualquer
.
Passo 3
Vamos achar
.
Seja e
. Então
Seja
logo, pela regra do produto,
Como
, obtemos
Passo 4
Estimamos
em
e
para obter uma cota de
:
- Em :
,
,
.
Logo
- Em
Logo
- Em
:
,
,
.
Logo
Logo
e
.
Assim .
Assim
Passo 5
Agora verificamos
avaliando nas bordas:
Como
e
estão em
e
, pelo Teorema de Banach concluímos que
é contratante e mantêm o iterando em
.
Passo 6
Conclusão do item (A): Sim, podemos afirmar que o método de Ponto Fixo com esta
converge para o zero de
em
, pois satisfaz as condições de Banach.
Passo 7
Para o item (B), fazemos as iterações independentemente:
Resposta
(A) Sim. A função
mapeia
em si mesma e tem
, logo é contratante e garante convergência pelo Teorema de Banach.
(B) ,
,
.
(B)