Suponha que desejamos encontrar um zero positivo para a mesma função do exercício anterior
f(x)=e^{\frac{x^{2}}{20}} \sin (x)
usando um método de Ponto Fixo (diferente do método de Newton), partindo de x_{0}=2.
(A) [2 pontos]
Verifique se é possível assegurar convergência para o método do Ponto Fixo utilizando a seguinte função de iteração
\varphi(x)=e^{\frac{x^{2}}{20}} \sin (x)+x
com x_{0}=2 para o zero de f(x) que está no intervalo [1,8 ; 3,5].
Justifique sem executar/realizar iterações ; exiba a análise completa da condição de convergência. Você pode afirmar que o método irá convergir com essa \varphi(x) ?
(B) [1 ponto ]
Partindo de x_{0}=2, busque obter x_{3} (terceiro iterando) usando o método do Ponto Fixo com a função de iteração \varphi(x) do item anterior.
Obs.: Execute as iterações independentemente do que você concluiu no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede para estudar se a iteração
\varphi(x)=e^{\frac{x^{2}}{20}}\sin(x)+x
é contratante em [1,8;3,5] de modo a garantir convergência ao zero positivo de f(x)=e^{x^2/20}\sin(x). Depois, mesmo que não convirja, devemos calcular x_{1},x_{2},x_{3} a partir de x_{0}=2.

Passo 2

O Teorema do Ponto Fixo de Banach diz que, se \varphi for contínua em [a,b], mapear o intervalo em si mesmo, isto é,
\varphi([a,b])\subset[a,b],
e satisfizer
\max_{x\in[a,b]}|\varphi'(x)|=k<1,
então existe único ponto fixo em [a,b] e a iteração x_{n+1}=\varphi(x_{n}) converge para esse ponto fixo a partir de qualquer x_{0}\in[a,b].

Passo 3

Vamos achar \varphi'(x).
Seja u(x)=e^{x^2/20} e v(x)=\sin x. Então
u'(x)=\frac{x}{10}e^{\frac{x^2}{20}}, \quad v'(x)=\cos x,
logo, pela regra do produto,
\bigl(e^{\frac{x^2}{20}}\sin x\bigr)' = e^{\frac{x^2}{20}}\Bigl(\frac{x}{10}\sin x+\cos x\Bigr).
Como \varphi(x)=e^{x^2/20}\sin x + x, obtemos
\varphi'(x) =e^{\frac{x^2}{20}}\Bigl(\frac{x}{10}\sin x+\cos x\Bigr)+1.

Passo 4

Estimamos \varphi'(x) em x=1,8 e x=3,5 para obter uma cota de \max|\varphi'|:
- Em x=1,8: \displaystyle e^{1,8^2/20}=e^{0,162}\approx1,176, \frac{x}{10}\sin x=0,18\cdot0,974\approx0,175, \cos1,8\approx-0,227.
Logo
\varphi'(1,8) \approx1,176\,(0,175-0,227)+1 \approx0,939.
- Em x=3,5: \displaystyle e^{3,5^2/20}=e^{0,6125}\approx1,845, \frac{x}{10}\sin x=0,35\cdot(-0,351)\approx-0,123, \cos3,5\approx-0,937.
Logo
\varphi'(3,5) \approx1,845\,(-0,123-0,937)+1 \approx-0,954,
e |\varphi'(3,5)|\approx0,954.
Assim \max_{[1,8,\,3,5]}|\varphi'(x)|\le0,96<1.

Passo 5

Agora verificamos \varphi([1,8;3,5])\subset[1,8;3,5] avaliando nas bordas:
\varphi(1,8) =e^{0,162}\sin(1,8)+1,8 \approx1,176\cdot0,974+1,8 \approx2,945,
\varphi(3,5) =e^{0,6125}\sin(3,5)+3,5 \approx1,845\cdot(-0,351)+3,5 \approx2,853.
Como 2,853 e 2,945 estão em [1,8;3,5] e |\varphi'|<1, pelo Teorema de Banach concluímos que \varphi é contratante e mantêm o iterando em [1,8;3,5].

Passo 6

Conclusão do item (A): Sim, podemos afirmar que o método de Ponto Fixo com esta \varphi converge para o zero de f em [1,8;3,5], pois satisfaz as condições de Banach.

Passo 7

Para o item (B), fazemos as iterações independentemente:
x_{1}=\varphi(2) =e^{0,2}\sin(2)+2 \approx1,2214\cdot0,9093+2 \approx3,111.
x_{2}=\varphi(3,111) =e^{\frac{3,111^2}{20}}\sin(3,111)+3,111 \approx1,622\cdot0,0306+3,111 \approx3,161.
x_{3}=\varphi(3,161) =e^{\frac{3,161^2}{20}}\sin(3,161)+3,161 \approx1,647\cdot(-0,0191)+3,161 \approx3,129.

Resposta

(A) Sim. A função \varphi mapeia [1,8;3,5] em si mesma e tem \max|\varphi'|<1, logo é contratante e garante convergência pelo Teorema de Banach.
(B) x_{1}\approx3,111, x_{2}\approx3,161, x_{3}\approx3,129.

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