25 pontos
Adiabático significa que não troca de calor com o meio. A ideia aqui é esboçar uma expansão adiabática no diagrama p x V e comparar com a expansão isotérmica.
Numa expansão adiabática saímos de p_{i}, V_{i} e chegamos em p_{f}, V_{f} . p_{i}> p_{f} e V_{f}>V_{i}.
Mostre que ao longo de uma adiabática, PARA GASES IDEAIS, p V^{\gamma}= cte
(a) (5) Escreva a primeira lei da termodinâmica e identifique no caso da expansão adiabática 1) quem é igual a zero; 2) quem é igual a quem?
(b) (5) Relacionem a variação da energia interna com p e com V. Cheguem numa equação relacionando d T / T \operatorname{com} d V / V.
(c) (3) Joguem o d T / T e d V / V para um lado e façam o outro lado =0.
(d) (3) Simplifiquem. Lembrem: C_{p}=C_{v}+R \gamma=C_{p} / C_{v} (no final só pode ter \gamma, nada de C_{p} nem de C_{V}.
(e) (3) Integrem a equação acima.
(f) (1) Coloquem tudo dentro de um logaritmo apenas.
(g) (3) Façam e elevado a cada um dos lados.
(h) (2) Usem a lei dos gases ideais e convertam o resultado acima para p V^{\wedge} \gamma=c t e

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, numa expansão adiabática de um gás ideal, vale
p\,V^{\gamma}=\text{constante}.
Vamos usar a primeira lei da termodinâmica, a expressão da energia interna dU de um gás ideal, a relação entre C_{p} e C_{V} e a lei dos gases ideais pV=nRT.

Passo 2

A primeira lei da termodinâmica é
dU=\delta Q-\delta W.
Como o processo é adiabático, \delta Q=0, e \delta W=p\,dV. Então
dU=-p\,dV.

Passo 3

Para um gás ideal a energia interna depende só de T, de modo que
dU=n\,C_{V}\,dT.
Substituindo em dU=-p\,dV e usando p=\frac{nRT}{V} obtemos
n\,C_{V}\,dT=-\frac{nR\,T}{V}\,dV.
Dividindo por n e isolando dá
C_{V}\,\frac{dT}{T}=-R\,\frac{dV}{V}.

Passo 4

Colocando todos os termos num só lado vem
C_{V}\,\frac{dT}{T}+R\,\frac{dV}{V}=0.
Como R=C_{p}-C_{V} e \gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}}, temos
\frac{R}{C_{V}}=\gamma-1.
Dividindo toda a equação por C_{V} ficamos com
\frac{dT}{T}+(\gamma-1)\,\frac{dV}{V}=0.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\frac{dT}{T}+(\gamma-1)\int\frac{dV}{V}=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln T+(\gamma-1)\ln V=\text{constante}.

Passo 6

Elevando e em cada lado:
T\,V^{\gamma-1}=\text{constante}.

Passo 7

Usando T=\frac{pV}{nR} na relação acima dá
\frac{pV}{nR}\;V^{\gamma-1}=\text{constante} \quad\Longrightarrow\quad p\,V^{\gamma}=\text{constante},
já que nR é constante.

Resposta

p\,V^{\gamma}=\text{constante}.

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