Questão 17

(a) Mostre que a Lagrangiana,
L=m_{0} c^{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right)-V(r)
leva a uma forma relativística da segunda lei de Newton do movimento:
\frac{d}{d t}\left(\frac{m_{0} v_{i}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)=F_{i}
(b) Determine a expressão do Hamiltoniano para o sistema da letra (a).
(c) A partir do formalismo Hamiltoniano obtenha a equação (4).

Passo 1

O enunciado nos dá a Lagrangiana para uma partícula relativística sujeita a um potencial central V(r):
L = m_{0}c^{2}\Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\Bigr)\;-\;V(r),
e pede:
(a) mostrar que as equações de Euler–Lagrange levam a
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{m_{0}v_{i}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\Bigr)=F_{i},
onde F_{i}=-\partial V/\partial x_{i};
(b) obter o Hamiltoniano H via Legendre;
(c) derivar a “equação (4)”, que não foi fornecida e, sem ela, não é possível concluir essa parte.

Passo 2

Aplicamos a equação de Euler–Lagrange em cada coordenada x_{i}:
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot x_{i}}\Bigr) -\frac{\partial L}{\partial x_{i}}=0.
Primeiro calculamos o momento canônico:
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot x_{i}} = m_{0}c^{2}\,\frac{\partial}{\partial \dot x_{i}}\Bigl(-\gamma^{-1}\Bigr) = m_{0}\,\gamma\,\dot x_{i},
onde \gamma = 1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}.
Em seguida,
\frac{\partial L}{\partial x_{i}} = -\frac{\partial V}{\partial x_{i}} = F_{i}.
Logo a equação de Euler–Lagrange vira
\frac{d}{dt}(p_{i})=F_{i} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{m_{0}v_{i}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\Bigr)=F_{i},
que é exatamente a forma relativística da segunda lei de Newton.

Passo 3

Para achar o Hamiltoniano fazemos a transformação de Legendre:
H=\sum_{i}p_{i}\,\dot x_{i}-L.
Como p_{i}=m_{0}\gamma\,\dot x_{i}, tem-se
\sum_{i}p_{i}\,\dot x_{i} = m_{0}\gamma\,v^{2}.
Substituindo em H:
H = m_{0}\gamma\,v^{2} - \Bigl[m_{0}c^{2}\bigl(1-\gamma^{-1}\bigr)-V(r)\Bigr] = m_{0}c^{2}(\gamma-1)+V(r).
Em termos do momento p isso pode ser escrito também como
H=\sqrt{p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}-m_{0}c^{2}+V(r),
onde p=|\mathbf p|.

Passo 4

A parte (c) requer a “equação (4)”, que não foi fornecida no enunciado. Sem saber qual é essa equação, não podemos completar a derivação pedida.

Resposta

(a) A aplicação de Euler–Lagrange a
\displaystyle L=m_{0}c^{2}(1-\gamma^{-1})-V(r)
gera
\displaystyle \frac{d}{dt}\bigl(m_{0}\gamma v_{i}\bigr)=F_{i}.
(b) O Hamiltoniano é
\displaystyle H=m_{0}c^{2}(\gamma-1)+V(r),
ou em função de \mathbf p,
\displaystyle H=\sqrt{p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}-m_{0}c^{2}+V(r).
(c) Não é possível resolver porque a “equação (4)” não foi apresentada.

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