( 2,0 pt) No planeta Tatooine, um pássaro macho voa no sentido da fêmea com uma velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} enquanto canta com uma frequência de 900 Hz . A fêmea está em repouso e ouve o canto com uma frequência de 930 Hz . a) Qual é a velocidade do som na atmosfera do planeta Tatooine? b) Se o módulo de elasticidade volumétrico da atmosfera de Tatooine é duas vezes maior do que o da atmosfera da Terra, qual o valor da densidade da atmosfera de Tatooine?

Passo 1

O enunciado descreve um pássaro macho que emite som com frequência \,f=900\\ \mathrm{Hz} e se aproxima de uma fêmea em repouso com velocidade de 20\\ \mathrm{m/s}, de modo que a fêmea percebe f'=930\\ \mathrm{Hz}. Na parte (a) usaremos o efeito Doppler para fonte em movimento e observador estacionário. Na parte (b) relacionaremos o módulo de elasticidade volumétrico B, a densidade \rho e a velocidade do som c pela fórmula
c = \sqrt{\frac{B}{\rho}}.

Passo 2

Para a parte (a), com fonte se aproximando de observador fixo, a frequência percebida satisfaz
f' \;=\; f\,\frac{c}{\,c - v_s\,},
onde v_s=20\\ \mathrm{m/s} é a velocidade da fonte e c é a velocidade do som em Tatooine. Substituindo f'=930 e f=900, temos
930 = 900\,\frac{c}{\,c - 20\,} \;\Longrightarrow\; 930\,(c - 20)=900\,c \;\Longrightarrow\; 930c - 18600 =900c \;\Longrightarrow\; 30c =18600 \;\Longrightarrow\; c =620\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Na parte (b), como o módulo de elasticidade volumétrico da atmosfera de Tatooine é duas vezes maior que o da Terra, vale
B_{\rm Tatooine} = 2\,B_{\rm Terra}.
Também sabemos que em qualquer meio
B = \rho\,c^2.
Logo
\rho_{\rm Tatooine} =\frac{B_{\rm Tatooine}}{c_{\rm Tatooine}^2} =\frac{2\,B_{\rm Terra}}{(620)^2} =\frac{2\,\bigl(\rho_{\rm Terra}\,c_{\rm Terra}^2\bigr)}{620^2} =2\,\rho_{\rm Terra}\,\biggl(\frac{c_{\rm Terra}}{620}\biggr)^{\!2}.
Tomando valores típicos para a atmosfera da Terra (densidade \rho_{\rm Terra}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} e c_{\rm Terra}=340\\ \mathrm{m/s}), obtemos
\rho_{\rm Tatooine} =2\times1{,}2\times\Bigl(\tfrac{340}{620}\Bigr)^{2} \approx0{,}72\\ \mathrm{kg/m^3}.

Resposta

a) 620\\ \mathrm{m/s}
b) aproximadamente 0{,}72\\ \mathrm{kg/m^3}

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