1 Banho quente - calibração de equipamento
Um sistema de aquecimento solar de água tem um volume total V_{t}. Dentro dele temos uma vareta espetada a partir do topo com alguns sensores que indicam a temperatura da água e o nível do reservatório. O tal sensor tem um problema. Quando diz que o reservatório está X X \% cheio, ele não está. Vamos usar o que sabemos de termodinâmica para descobrir quão cheio ele realmente está. Com isso podemos montar uma tabela de calibração, algo que pode ser colado ao lado da central do aparelho mostrando 80=90,70=60,60=50,50=55 ou alguma coisa parecida.
O procedimento é o seguinte, quando o reservatório está parcialmente cheio com o sensor mostrando X X \% queremos saber qual é a verdadeira fração que está cheia. Para isso vamos abrir a entrada de água fria até encher o reservatório.
(a) (5) O que eu preciso saber sobre o sistema para chegar onde quero?
(b) (5) Desenhe as partes relevantes. Não precisa sistema de coordenadas.
(c) (5) Ao despejar água fria sobre a água quente o que acontece com a água quente?
(d) (5) E o que acontece com a água fria?
(e) (5) Quanto do que acontece com a água fria acontece com a água quente? Escreva isso matematicamente usando os conceitos termodinâmicos relevantes. Escreva uma expressão, e explique, do tipo algo1 = algo2
(f) (5) A partir da expressão acima vocês podem isolar uma das variáveis e descobrir quanta água fria jogaram dentro do tanque. Escrevam então uma expressão para V_{f}.
(g) (5) Façam o mesmo para V_{q}

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume total V_{t} que contém inicialmente um volume V_{q} de água quente (temperatura T_{q}). Depois adicionamos um volume V_{f} de água fria (temperatura T_{f}) até encher o tanque, e medimos a temperatura final de equilíbrio T_{m}. Para resolver usamos termodinâmica de mistura: conservação de energia (calor) sem perdas para o ambiente.

Passo 2

(a) Precisamos saber:
  • o volume total do tanque V_{t};
  • as temperaturas iniciais da água quente T_{q} e da água fria T_{f};
  • a temperatura de equilíbrio T_{m};
  • a capacidade calorífica específica da água c e a densidade \rho;
  • supor que o sistema é adiabático (sem troca de calor com o ambiente).

Passo 3

(b) Desenho das partes relevantes:
Imagine um retângulo vertical que representa o tanque.
— Primeiro marque uma altura correspondente ao volume inicial V_{q} (água quente).
— Acima, até a borda, marque o acréscimo V_{f} (água fria adicionada) que leva ao volume total V_{t}.
Indique no volume baixo a temperatura T_{q}, no volume alto a temperatura T_{f} e, após mistura, o valor T_{m}.

Passo 4

(c) Ao despejar água fria sobre a água quente, a água quente perde calor e sua temperatura diminui.

Passo 5

(d) A água fria ganha calor da água quente e sua temperatura aumenta até T_{m}.

Passo 6

(e) Pela conservação de energia (calor cedido = calor absorvido):
m_{q}\,c\,(T_{q}-T_{m}) \;=\; m_{f}\,c\,(T_{m}-T_{f}),
onde m_{q}=\rho\,V_{q} e m_{f}=\rho\,V_{f}. Cancelando \rho\,c:
V_{q}\,(T_{q}-T_{m}) = V_{f}\,(T_{m}-T_{f}).

Passo 7

(f) Isolando V_{f} na expressão acima:
V_{f} \;=\; V_{q}\,\frac{T_{q}-T_{m}}{T_{m}-T_{f}}.

Passo 8

(g) Como V_{q}+V_{f}=V_{t}, basta escrever
V_{q} = V_{t} - V_{f}.

Resposta

(a) Precisamos de V_{t}, T_{q}, T_{f}, T_{m}, c, \rho e supor adiabático.
(b) Tanque com nível inicial V_{q}, volume adicionado V_{f} até V_{t}, indicando T_{q}, T_{f}, T_{m}.
(c) A água quente perde calor (esfria).
(d) A água fria ganha calor (aquece).
(e) m_{q}\,c\,(T_{q}-T_{m})=m_{f}\,c\,(T_{m}-T_{f}) ou V_{q}(T_{q}-T_{m})=V_{f}(T_{m}-T_{f}).
(f) V_{f} = V_{q}\,\dfrac{T_{q}-T_{m}}{T_{m}-T_{f}}.
(g) V_{q} = V_{t} - V_{f}.

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