Q. 1 ( 25 pontos) Calcule a integral
onde
é o conjunto dado por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de volume
onde
O conteúdo que vamos usar envolve decompor
em
calcular o volume de
e a integral de
sobre
usando mudança de variável que transforma a ellipsoide numa bola unitária.
Passo 2
Primeiro, calculamos
ou seja, o volume de uma meia ellipsoide de semi-eixos
,
,
. O volume de toda a ellipsoide
é
Como só tomamos a parte com
, o volume de
é metade disso:
Passo 3
Agora, calculamos
Fazemos a mudança de variável
que envia a ellipsoide em
para a bola unitária
e tem jacobiano
. Assim
onde
é a meia bola unitária em
com
.
Passo 4
Em coordenadas esféricas usuals em
,
com
,
, e
(para garantir
). O elemento de volume é
Então
Isso é
Multiplicando pelo fator
do jacobiano,
Passo 5
Somando as duas partes,