Q. 1 ( 25 pontos) Calcule a integral
\iiint_{B} y+1 d V
onde B é o conjunto dado por B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4} \leq 1, \quad y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de volume
\iiint_{B}(y+1)\,dV
onde
B = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + \tfrac{z^2}{4}\le1,\;y\ge0\}.
O conteúdo que vamos usar envolve decompor
\iiint_B (y+1)\,dV
em
\iiint_B y\,dV + \iiint_B 1\,dV,
calcular o volume de B e a integral de y sobre B usando mudança de variável que transforma a ellipsoide numa bola unitária.

Passo 2

Primeiro, calculamos
\iiint_B 1\,dV,
ou seja, o volume de uma meia ellipsoide de semi-eixos a=1, b=1, c=2. O volume de toda a ellipsoide x^2+y^2+\tfrac{z^2}{4}\le1 é
\frac{4}{3}\pi\,a\,b\,c = \frac{4}{3}\pi\cdot1\cdot1\cdot2 = \frac{8\pi}{3}.
Como só tomamos a parte com y\ge0, o volume de B é metade disso:
\iiint_B 1\,dV = \frac{1}{2}\,\frac{8\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.

Passo 3

Agora, calculamos
\iiint_B y\,dV.
Fazemos a mudança de variável
x = u,\quad y = v,\quad z = 2w,
que envia a ellipsoide em B para a bola unitária
u^2 + v^2 + w^2 \le 1,\quad v\ge0,
e tem jacobiano \det J = 2. Assim
\iiint_B y\,dV = \iiint_{u^2+v^2+w^2\le1,\;v\ge0} v \cdot 2\,dudvdw = 2\iiint_{D^+} v\,dV_{\!U},
onde D^+ é a meia bola unitária em \mathbb{R}^3 com v\ge0.

Passo 4

Em coordenadas esféricas usuals em (u,v,w),
u = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad v = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad w = \rho\cos\varphi,
com \rho\in[0,1], \varphi\in[0,\pi], e \theta\in[0,\pi] (para garantir v\ge0). O elemento de volume é
dV_{\!U} = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Então
\iiint_{D^+} v\,dV_{\!U} = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{\pi} (\rho\sin\varphi\sin\theta)\,\bigl(\rho^2\sin\varphi\bigr) \,d\theta\,d\varphi\,d\rho.
Isso é
\int_{0}^{1}\rho^3\,d\rho \;\times\; \int_{0}^{\pi}\sin^2\varphi\,d\varphi \;\times\; \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \Bigl[\tfrac{\rho^4}{4}\Bigr]_0^1 \;\times\; \frac{\pi}{2} \;\times\; 2 = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot2 = \frac{\pi}{4}.
Multiplicando pelo fator 2 do jacobiano,
\iiint_B y\,dV = 2\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Somando as duas partes,
\iiint_B (y+1)\,dV = \iiint_B y\,dV + \iiint_B 1\,dV = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3} = \pi\Bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{4}{3}\Bigr) = \frac{11\pi}{6}.

Resposta

\frac{11\pi}{6}.

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