Sabendo-se que y_{1}=t e y_{2}=t. lnt formam um conjunto de soluções L.I. para a EDO homogênea t^{2} \cdot y^{\prime \prime}-t \cdot y^{\prime}+y=0, \quad \forall t>0, ache a solução geral da EDO não-homogênea t^{2} \cdot y^{\prime \prime}-t \cdot y^{\prime}+y=4. t. ln t

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO não homogênea
t^{2}y''-t\,y'+y=4\,t\,\ln t,\quad t>0
e informa que as soluções fundamentais da homogênea
t^{2}y''-t\,y'+y=0
são y_{1}=t e y_{2}=t\ln t.
Queremos aplicar o método de variação de parâmetros para obter a solução geral da não homogênea.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
y''+P(t)\,y'+Q(t)\,y = g(t).
Dividindo tudo por t^{2} obtemos
y'' - \frac{1}{t}\,y' + \frac{1}{t^{2}}\,y = \frac{4\,t\,\ln t}{t^{2}} = \frac{4\ln t}{t}.
Logo
P(t)=-\frac{1}{t},\quad Q(t)=\frac{1}{t^{2}},\quad g(t)=\frac{4\ln t}{t}.

Passo 3

Calculamos o wronskiano das soluções fundamentais
W(t)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[6pt] y_{1}'& y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} t & t\ln t\\[4pt] 1 & 1+\ln t \end{vmatrix} = t\,(1+\ln t)-t\ln t = t.]

Passo 4

Nas fórmulas de variação de parâmetros temos
u_{1}' = -\frac{y_{2}\,g}{W},\quad u_{2}' = \frac{y_{1}\,g}{W}.
Substituindo y_{1},y_{2},g,W obtemos
u_{1}' = -\frac{(t\ln t)\,\frac{4\ln t}{t}}{t} = -\frac{4(\ln t)^{2}}{t}, \qquad u_{2}' = \frac{t\,\frac{4\ln t}{t}}{t} = \frac{4\ln t}{t}.

Passo 5

Agora integramos para achar u_{1} e u_{2}. Usando w=\ln t e dw=dt/t:
u_{1} = \int -\frac{4(\ln t)^{2}}{t}\,dt = -4\int w^{2}dw = -\frac{4}{3}w^{3} = -\frac{4}{3}(\ln t)^{3},
u_{2} = \int \frac{4\ln t}{t}\,dt =4\int w\,dw =2w^{2} =2(\ln t)^{2}.

Passo 6

A solução particular é
y_{p} = u_{1}\,y_{1} + u_{2}\,y_{2} = \Bigl(-\tfrac{4}{3}(\ln t)^{3}\Bigr)\,t + \bigl(2(\ln t)^{2}\bigr)\,(t\ln t) = \frac{2}{3}\,t\,(\ln t)^{3}.

Passo 7

A solução geral da EDO não homogênea é a soma da homogênea e da particular:
y = C_{1}\,t + C_{2}\,t\ln t + \frac{2}{3}\,t\,(\ln t)^{3},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) = C_{1}\,t + C_{2}\,t\ln t + \frac{2}{3}\,t\,(\ln t)^{3}.

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