(0.25 pontos) Considere um anel de raio a no plano z=0, e com centro de carga na origem. A carga do anel está distribuida de acordo com a função densidade rhol= k cos phi, com k(C / m) representando um parâmetro constante.
Determine:
A carga total do anel

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um anel de raio $ a $ no plano $ z=0 $ com uma distribuição de carga dada pela densidade linear $ \rho_l = k \cos \phi $, onde $ k $ é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a carga total desse anel.

Passo 2

Para calcular a carga total, precisamos integrar a densidade de carga ao longo de todo o comprimento do anel. A densidade linear $ \rho_l $ nos indica quanto de carga está presente por unidade de comprimento.

Passo 3

Primeiro, determinamos um pequeno elemento de comprimento no anel, que é $ ds = a , d\phi $, onde $ a $ é o raio do anel e $ d\phi $ é um pequeno ângulo. A carga desse elemento é $ dq = \rho_l , ds = k \cos \phi \cdot a , d\phi $.

Passo 4

Agora, integramos $ dq $ de $ \phi = 0 $ a $ \phi = 2\pi $ para encontrar a carga total:
dq
Sabemos que $ \int_{0}^{2\pi} \cos \phi , d\phi = 0 $, pois a função $ \cos \phi $ é simétrica e as áreas positivas e negativas se anulam.

Resposta

A carga total do anel é $ Q = 0 $ C.

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