(0.25 pontos) Considere um anel de raio a no plano
, e com centro de carga na origem. A carga do anel está distribuida de acordo com a função densidade
representando um parâmetro constante.
Determine:
A carga total do anel
Determine:
A carga total do anel
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um anel de raio $ a $ no plano $ z=0 $ com uma distribuição de carga dada pela densidade linear $ \rho_l = k \cos \phi $, onde $ k $ é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a carga total desse anel.
Passo 2
Para calcular a carga total, precisamos integrar a densidade de carga ao longo de todo o comprimento do anel. A densidade linear $ \rho_l $ nos indica quanto de carga está presente por unidade de comprimento.
Passo 3
Primeiro, determinamos um pequeno elemento de comprimento no anel, que é $ ds = a , d\phi $, onde $ a $ é o raio do anel e $ d\phi $ é um pequeno ângulo. A carga desse elemento é $ dq = \rho_l , ds = k \cos \phi \cdot a , d\phi $.
Passo 4
Agora, integramos $ dq $ de $ \phi = 0 $ a $ \phi = 2\pi $ para encontrar a carga total:
Sabemos que $ \int_{0}^{2\pi} \cos \phi , d\phi = 0 $, pois a função $ \cos \phi $ é simétrica e as áreas positivas e negativas se anulam.
Resposta
A carga total do anel é $ Q = 0 $ C.