(1 pontos) Considere uma região de volume V , de formato arbitário, limitada por uma superfície fechada
, cujo elemento de área para o exterior da região é
. Para um campo vetorial
, em que a é uma constante, calcule o fluxo deste vetor para o exterior da região através da supefície fechada.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região com volume $ V $ e uma superfície fechada $ S $ que a delimita. A área dessa superfície está orientada para fora da região. O problema apresenta um campo vetorial $ \vec{F} = (x - a) \mathbf{a}_x + (x - z) \mathbf{a}_y + (x - y) \mathbf{a}_z $, onde $ a $ é uma constante. Nosso objetivo é calcular o fluxo desse campo vetorial para fora da região $ V $ através da superfície $ S $.
Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com o volume onde a superfície está inserida. Vamos precisar entender o que é divergência e como aplicá-la ao campo vetorial dado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial $ \vec{F} $ através de uma superfície $ S $ é uma medida de quanto do campo passa pela superfície. Quando a superfície é fechada, como no nosso caso, podemos usar o teorema da divergência para facilitar o cálculo.
O teorema da divergência diz que:
Isso significa que o fluxo através da superfície fechada $ S $ é igual à integral da divergência de $ \vec{F} $ sobre o volume $ V $.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de $ \vec{F} $. A divergência de um campo vetorial $ \vec{F} = F_x \mathbf{a}_x + F_y \mathbf{a}_y + F_z \mathbf{a}_z $ é dada por:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora que temos a divergência, podemos aplicar o teorema da divergência. A integral volumétrica da divergência de $ \vec{F} $ sobre $ V $ será:
Aqui, $ \iiint_{V} dV $ representa o volume da região $ V $, que vamos chamar de $ V $.
Passo 5
Finalizando, de acordo com o teorema da divergência:
Então, o fluxo do campo vetorial $ \vec{F} $ para fora da região $ V $ através da superfície fechada $ S $ é igual a $ bV $.
Resposta
O fluxo do campo vetorial $ \vec{F} $ para fora da região $ V $ através da superfície fechada $ S $ é $ bV $.