(1 pontos) Considere uma região de volume V , de formato arbitário, limitada por uma superfície fechada S, cujo elemento de área para o exterior da região é d^- S. Para um campo vetorial ^- F=(x-a) b ax+(x-z) b ay+(x-y) b az, em que a é uma constante, calcule o fluxo deste vetor para o exterior da região através da supefície fechada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região com volume $ V $ e uma superfície fechada $ S $ que a delimita. A área dessa superfície está orientada para fora da região. O problema apresenta um campo vetorial $ \vec{F} = (x - a) \mathbf{a}_x + (x - z) \mathbf{a}_y + (x - y) \mathbf{a}_z $, onde $ a $ é uma constante. Nosso objetivo é calcular o fluxo desse campo vetorial para fora da região $ V $ através da superfície $ S $.
Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com o volume onde a superfície está inserida. Vamos precisar entender o que é divergência e como aplicá-la ao campo vetorial dado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial $ \vec{F} $ através de uma superfície $ S $ é uma medida de quanto do campo passa pela superfície. Quando a superfície é fechada, como no nosso caso, podemos usar o teorema da divergência para facilitar o cálculo.
O teorema da divergência diz que:
F
Isso significa que o fluxo através da superfície fechada $ S $ é igual à integral da divergência de $ \vec{F} $ sobre o volume $ V $.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de $ \vec{F} $. A divergência de um campo vetorial $ \vec{F} = F_x \mathbf{a}_x + F_y \mathbf{a}_y + F_z \mathbf{a}_z $ é dada por:
F
No nosso caso, temos:
F = Fx ax + Fy ay + Fz az
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z ãáãá
Então, a divergência é:
Fx = (x - a)b Fy = (x - z)b Fz = (x - y)b

Passo 4

Agora que temos a divergência, podemos aplicar o teorema da divergência. A integral volumétrica da divergência de $ \vec{F} $ sobre $ V $ será:
F
Aqui, $ \iiint_{V} dV $ representa o volume da região $ V $, que vamos chamar de $ V $.

Passo 5

Finalizando, de acordo com o teorema da divergência:
integral duplaS F cdot dS = bV
Então, o fluxo do campo vetorial $ \vec{F} $ para fora da região $ V $ através da superfície fechada $ S $ é igual a $ bV $.

Resposta

O fluxo do campo vetorial $ \vec{F} $ para fora da região $ V $ através da superfície fechada $ S $ é $ bV $.

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