( 0.25 pontos) Considere um anel de raio a no plano
, e com centro de carga na origem. A carga do anel está distribuida de acordo com a função densidade
representando um parâmetro constante.
Determine:
O potencial eletrostático em um ponto qualquer do eixo
.
Determine:
O potencial eletrostático em um ponto qualquer do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A gente tem um anel de raio $ a $ no plano $ z=0 $ com uma distribuição de carga dada por $ \rho_l = k \cos \phi $, onde $ k $ é uma constante. Nosso objetivo aqui é encontrar o potencial eletrostático em um ponto qualquer ao longo do eixo $ z $. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula para o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ em um ponto devido a uma distribuição de carga contínua é dado por:
Onde:
- $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
- $ dq $ é um elemento de carga na distribuição.
- $ r $ é a distância entre o elemento de carga $ dq $ e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
No nosso caso, o anel está no plano $ z=0 $ e queremos calcular o potencial em um ponto ao longo do eixo $ z $, digamos no ponto $ P(0, 0, z) $. Vamos parametrizar o anel usando o ângulo $ \phi $, que varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
A posição de um ponto no anel pode ser descrita pelas coordenadas:
Passo 4
A carga diferencial $ dq $ no anel é dada pela densidade linear de carga multiplicada pelo elemento de comprimento $ dl $:
Aqui, $ dl = a , d\phi $ porque estamos em coordenadas polares e $ a $ é o raio do anel.
Passo 5
A distância $ r $ entre o elemento de carga $ dq $ e o ponto $ P $ no eixo $ z $ é:
Isso porque $ x $ e $ y $ no ponto $ P $ são zero, e a diferença em $ z $ é $ z $.
Passo 6
Agora, substituímos $ dq $ e $ r $ na expressão do potencial:
Como $ \sqrt{a^2 + z^2} $ é constante em relação a $ \phi $, podemos tirá-lo da integral:
Passo 7
Calculamos a integral de $ \cos \phi $ de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Isso porque a função $ \cos \phi $ é simétrica e as áreas positiva e negativa se cancelam.
Passo 8
Portanto, o potencial $ V(z) $ é:
Resposta
O potencial eletrostático em um ponto qualquer do eixo $ z $ é zero.