( 0.25 pontos) Considere uma esfera isolante de raio a, com o centro na origem, exibindo vetor de polarização permanente ^- P=P0 baz.
Determine:
Momento de dipolo da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante com raio $ a $ e centro na origem. Essa esfera está com um vetor de polarização permanente $ \overrightarrow{P} = P_0 \hat{z} $. A pergunta é: qual é o momento de dipolo dessa esfera?
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de polarização e momento de dipolo em física. Para resolver isso, vamos precisar entender como a polarização distribuída dentro de um objeto contribui para o momento de dipolo total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de dipolo ($ \overrightarrow{M} M éçã \overrightarrow{P} $) sobre todo o volume do objeto:
P
No nosso caso, a polarização é uniforme e direcionada ao longo do eixo $ z $, ou seja, $ \overrightarrow{P} = P_0 \hat{z} $. Isso facilita a nossa vida porque podemos puxar o $ P_0 \hat{z} $ para fora da integral.

Passo 3

Agora, substituímos $ \overrightarrow{P} $ na fórmula do momento de dipolo:
P
A integral de $ dV $ sobre o volume da esfera é simplesmente o volume da esfera. A fórmula para o volume ($ V $) de uma esfera de raio $ a $ é:
M = P0 z integral dV

Passo 4

Substituindo o volume na expressão do momento de dipolo, temos:
M = P0 z times 43 pi a^3
Simplificando isso, obtemos:
M = 43 pi a^3 P0 z

Resposta

O momento de dipolo da esfera é $ \displaystyle \overrightarrow{M} = \frac{4}{3} \pi a^3 P_0 \hat{z} $.

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