( 0.25 pontos) Considere uma esfera isolante de raio a, com o centro na origem, exibindo vetor de polarização permanente
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Determine:
Momento de dipolo da esfera.
Determine:
Momento de dipolo da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante com raio $ a $ e centro na origem. Essa esfera está com um vetor de polarização permanente $ \overrightarrow{P} = P_0 \hat{z} $. A pergunta é: qual é o momento de dipolo dessa esfera?
Aqui, estamos trabalhando com conceitos de polarização e momento de dipolo em física. Para resolver isso, vamos precisar entender como a polarização distribuída dentro de um objeto contribui para o momento de dipolo total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de dipolo ($ \overrightarrow{M}
\overrightarrow{P} $) sobre todo o volume do objeto:
No nosso caso, a polarização é uniforme e direcionada ao longo do eixo $ z $, ou seja, $ \overrightarrow{P} = P_0 \hat{z} $. Isso facilita a nossa vida porque podemos puxar o $ P_0 \hat{z} $ para fora da integral.
Passo 3
Agora, substituímos $ \overrightarrow{P} $ na fórmula do momento de dipolo:
A integral de $ dV $ sobre o volume da esfera é simplesmente o volume da esfera. A fórmula para o volume ($ V $) de uma esfera de raio $ a $ é:
Passo 4
Substituindo o volume na expressão do momento de dipolo, temos:
Simplificando isso, obtemos:
Resposta
O momento de dipolo da esfera é $ \displaystyle \overrightarrow{M} = \frac{4}{3} \pi a^3 P_0 \hat{z} $.