( 0.25 pontos) Considere o centro de uma esfera de raio a com carga distribuída uniformemente com densidade 
 . Existe uma cobertura dielétrica esférica de permissividade 
 , de raio interno a e raio externo 
 , em torno dessa esfera. Para 
  
 , existe apenas o espaço vazio de permissividade 
 .
Determine:
os vetores 
  nas regiões 
  e 
 
Determine:
os vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera carregada uniformemente com densidade de carga 
 , de raio 
 . Em volta dessa esfera, tem uma camada dielétrica esférica com permissividade 
 , que vai do raio 
  até o raio 
 . Além disso, para 
 , temos espaço vazio com permissividade 
 . Nosso objetivo é determinar os vetores 
 , 
  e 
  nas duas regiões: de 
  (dentro do dielétrico) e para 
  (espaço vazio).
Para resolver isso, vamos precisar lembrar da Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico 
 , a relação entre 
 , 
  e 
 , e como a permissividade afeta esses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a região dentro do dielétrico, onde 
 . Aqui, temos a esfera carregada no centro e a camada dielétrica ao redor.
A Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico 
  nos diz que:
Como a carga está distribuída uniformemente no centro, a carga livre é apenas a carga da esfera central. Vamos chamar essa carga de 
 .
Para uma superfície gaussiana esférica de raio 
 , simétrica, o campo 
  será radial e constante em magnitude na superfície. Então:
Então, na região 
 :
Passo 3
Agora, vamos relacionar 
  com 
  e 
 . A relação geral é:
Em um dielétrico linear, a polarização 
  está relacionada ao campo elétrico 
  pela susceptibilidade elétrica 
 :
Além disso, a permissividade do dielétrico é:
Podemos reescrever a relação entre 
  e 
  usando 
 :
Portanto, para encontrar 
  na região do dielétrico, basta rearranjar a equação:
Substituindo 
  que encontramos:
Passo 4
Agora vamos determinar a polarização 
  na região do dielétrico. Usando a relação 
  e sabendo que 
 , podemos expressar 
  em termos de 
 :
Substituindo 
 :
Passo 5
Agora, vamos para a região 
 , que é apenas espaço vazio com permissividade 
 . Aqui, não há polarização porque não há dielétrico, então 
 .
Usando a Lei de Gauss novamente, temos para 
 :
A carga livre ainda é a mesma 
 , então:
Portanto, para 
 :
E o campo elétrico 
  é:
Resposta
Nas duas regiões, os vetores são:
Para 
 :
Para 
 :