( 0.25 pontos) Considere o centro de uma esfera de raio a com carga distribuída uniformemente com densidade rhos=k. Existe uma cobertura dielétrica esférica de permissividade epsilon, de raio interno a e raio externo b, em torno dessa esfera. Para R> b, existe apenas o espaço vazio de permissividade epsilon0.
Determine:
os vetores ^- D, ^- E, ^- P nas regiões a <= r <= b e r>b

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera carregada uniformemente com densidade de carga rhos = k, de raio a. Em volta dessa esfera, tem uma camada dielétrica esférica com permissividade epsilon, que vai do raio a até o raio b. Além disso, para r > b, temos espaço vazio com permissividade epsilon0. Nosso objetivo é determinar os vetores D, E e P nas duas regiões: de a <= r <= b (dentro do dielétrico) e para r > b (espaço vazio).
Para resolver isso, vamos precisar lembrar da Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico D, a relação entre D, E e P, e como a permissividade afeta esses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a região dentro do dielétrico, onde a <= r <= b. Aqui, temos a esfera carregada no centro e a camada dielétrica ao redor.
A Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico D nos diz que:
oint D cdot dA = Qlivre, dentro da superfície í
Como a carga está distribuída uniformemente no centro, a carga livre é apenas a carga da esfera central. Vamos chamar essa carga de Q = 43pi a^3 k.
Para uma superfície gaussiana esférica de raio r, simétrica, o campo D será radial e constante em magnitude na superfície. Então:
D cdot 4pi r^2 = Q D = Q4pi r^2 = 43pi a^3 k4pi r^2 = a^3 k3 r^2
Então, na região a <= r <= b:
D = a^3 k3 r^2 r

Passo 3

Agora, vamos relacionar D com E e P. A relação geral é:
D = epsilon0 E + P
Em um dielétrico linear, a polarização P está relacionada ao campo elétrico E pela susceptibilidade elétrica chie:
P = epsilon0 chie E
Além disso, a permissividade do dielétrico é:
epsilon = epsilon0 (1 + chie)
Podemos reescrever a relação entre D e E usando epsilon:
D = epsilon E
Portanto, para encontrar E na região do dielétrico, basta rearranjar a equação:
E = Depsilon
Substituindo D que encontramos:
E = a^3 k3 epsilon r^2 r

Passo 4

Agora vamos determinar a polarização P na região do dielétrico. Usando a relação P = epsilon0 chie E e sabendo que epsilon = epsilon0 (1 + chie), podemos expressar P em termos de epsilon:
P = D - epsilon0 E = epsilon E - epsilon0 E = (epsilon - epsilon0) E
Substituindo E:
P = (epsilon - epsilon0) a^3 k3 epsilon r^2 r = (epsilon - epsilon0) a^3 k3 epsilon r^2 r

Passo 5

Agora, vamos para a região r > b, que é apenas espaço vazio com permissividade epsilon0. Aqui, não há polarização porque não há dielétrico, então P = 0.
Usando a Lei de Gauss novamente, temos para D:
D = epsilon0 E
A carga livre ainda é a mesma Q = 43pi a^3 k, então:
D cdot 4pi r^2 = Q D = Q4pi r^2 = a^3 k3 r^2
Portanto, para r > b:
D = a^3 k3 r^2 r
E o campo elétrico E é:
E = Depsilon0 = a^3 k3 epsilon0 r^2 r

Resposta

Nas duas regiões, os vetores são:
Para a <= r <= b:
D = a^3 k3 r^2 r, E = a^3 k3 epsilon r^2 r, P = (epsilon - epsilon0) a^3 k3 epsilon r^2 r
Para r > b:
D = a^3 k3 r^2 r, E = a^3 k3 epsilon0 r^2 r, P = 0

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