( 0.25 pontos) Considere o centro de uma esfera de raio a com carga distribuída uniformemente com densidade
. Existe uma cobertura dielétrica esférica de permissividade
, de raio interno a e raio externo
, em torno dessa esfera. Para
, existe apenas o espaço vazio de permissividade
.
Determine:
os vetores
nas regiões
e
Determine:
os vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera carregada uniformemente com densidade de carga
, de raio
. Em volta dessa esfera, tem uma camada dielétrica esférica com permissividade
, que vai do raio
até o raio
. Além disso, para
, temos espaço vazio com permissividade
. Nosso objetivo é determinar os vetores
,
e
nas duas regiões: de
(dentro do dielétrico) e para
(espaço vazio).
Para resolver isso, vamos precisar lembrar da Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico
, a relação entre
,
e
, e como a permissividade afeta esses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a região dentro do dielétrico, onde
. Aqui, temos a esfera carregada no centro e a camada dielétrica ao redor.
A Lei de Gauss para o campo de deslocamento elétrico
nos diz que:
Como a carga está distribuída uniformemente no centro, a carga livre é apenas a carga da esfera central. Vamos chamar essa carga de
.
Para uma superfície gaussiana esférica de raio
, simétrica, o campo
será radial e constante em magnitude na superfície. Então:
Então, na região
:
Passo 3
Agora, vamos relacionar
com
e
. A relação geral é:
Em um dielétrico linear, a polarização
está relacionada ao campo elétrico
pela susceptibilidade elétrica
:
Além disso, a permissividade do dielétrico é:
Podemos reescrever a relação entre
e
usando
:
Portanto, para encontrar
na região do dielétrico, basta rearranjar a equação:
Substituindo
que encontramos:
Passo 4
Agora vamos determinar a polarização
na região do dielétrico. Usando a relação
e sabendo que
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos para a região
, que é apenas espaço vazio com permissividade
. Aqui, não há polarização porque não há dielétrico, então
.
Usando a Lei de Gauss novamente, temos para
:
A carga livre ainda é a mesma
, então:
Portanto, para
:
E o campo elétrico
é:
Resposta
Nas duas regiões, os vetores são:
Para
:
Para
: