( 0.25 pontos) Considere uma esfera de raio a carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga
, em que
é uma constante de
é a distância de um ponto a origem. Assuma que o interior e exterior da esfera tenham a mesma permissividade do vácuo.
Determine:
Determine a energia dessa distribuição de carga.
Determine:
Determine a energia dessa distribuição de carga.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera com raio $ a $ que está carregada de forma uniforme, mas com a densidade de carga variando conforme a distância $ r $ do ponto à origem. A densidade de carga é dada por $ \rho = \rho_0^{\frac{r}{a}} $, onde $ \rho_0 $ é uma constante. A gente precisa calcular a energia dessa distribuição de carga. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a energia armazenada em um campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total $ U $ de uma distribuição de carga pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo e $ E $ é o campo elétrico. Mas para calcular $ E $, precisamos saber a densidade de carga $ \rho $.
Passo 3
A densidade de carga fornecida é $ \rho = \rho_0^{\frac{r}{a}} $. Isso significa que a carga varia exponencialmente com a distância $ r $ dentro da esfera. Vamos precisar integrar essa densidade para encontrar o campo elétrico $ E $ em qualquer ponto dentro da esfera.
Passo 4
Para encontrar o campo elétrico $ E $ dentro da esfera, usamos a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde $ Q_{enc} $ é a carga total encerrada dentro de uma superfície gaussiana de raio $ r $.
Passo 5
Vamos calcular $ Q_{enc} $. A carga dentro de um raio $ r $ é a integral da densidade de carga sobre o volume:
Fazendo essa integração, obtemos:
Passo 6
Agora, voltando à Lei de Gauss, temos que o campo elétrico $ E $ é radial e constante sobre a superfície gaussiana, então:
Isolando $ E $:
Passo 7
Substituindo $ Q_{enc} $ na expressão de $ E $, temos:
Os $ 4\pi $ se cancelam:
Passo 8
Agora, vamos voltar à fórmula da energia $ U $:
Substituindo $ E $ encontrado:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Essa integral nos dá a energia total armazenada no campo elétrico da distribuição de carga.
Resposta
Após resolver as integrais envolvidas, a energia da distribuição de carga é dada por: