( 0.25 pontos) Considere um anel de raio a no plano z=0, e com centro de carga na origem. A carga do anel está distribuida de acordo com a função densidade rhol= k cos phi, com k(C / m) representando um parâmetro constante.
Determine:
O vetor de campo elétrico em um ponto qualquer do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o vetor de campo elétrico em um ponto qualquer do eixo $ z $ devido a um anel com raio $ a $ no plano $ z=0 $ e uma carga central na origem. A carga no anel está distribuída de acordo com a densidade $ \rho_{l} = k \cos \phi $, onde $ k $ é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de carga no anel. A densidade linear de carga é dada por $ \rho_{l} = k \cos \phi $. Isso significa que a carga varia ao longo do anel dependendo do ângulo $ \phi $. Para encontrar o campo elétrico total no ponto ao longo do eixo $ z $, vamos considerar um elemento de carga no anel e calcular o campo gerado por esse elemento no ponto desejado.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento $ ds $ no anel. A carga desse elemento é $ dq = \rho_{l} ds = k \cos \phi \cdot a d\phi $, já que $ ds = a d\phi $ para um anel de raio $ a $. Agora, o campo elétrico gerado por essa carga no ponto $ P $ no eixo $ z $ será dado pela Lei de Coulomb:
ds
onde $ r $ é a distância entre $ dq $ e o ponto $ P $, e $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.

Passo 4

No nosso caso, a distância $ r $ do elemento de carga ao ponto $ P $ no eixo $ z $ é:
r
O campo elétrico gerado por $ dq $ tem componentes na direção radial e na direção $ z $. Devido à simetria do anel, as componentes radiais se cancelam quando integrarmos ao redor de todo o anel, deixando apenas a componente na direção $ z $.

Passo 5

A componente $ z $ do campo elétrico devido a $ dq $ é:
z

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total $ E_z $, integramos $ dE_z $ ao redor de todo o anel, ou seja, de $ \phi = 0 $ a $ \phi = 2\pi $:
Ez

Passo 7

A integral fica:
Ez = k a z4piepsilon0 (a^2 + z^2)^3/2 integral0^2pi cos phi , dphi
Sabemos que $ \int_{0}^{2\pi} \cos \phi , d\phi = 0 $, pois as partes positivas e negativas se cancelam.

Passo 8

Portanto, o campo elétrico devido ao anel com essa distribuição de carga é nulo no ponto qualquer do eixo $ z $. Agora, não esqueçamos da carga central na origem. Se houver uma carga central $ Q $ na origem, o campo elétrico devido a ela no ponto $ P $ no eixo $ z $ seria:
z

Resposta

O vetor de campo elétrico no ponto qualquer do eixo $ z $ é dado por:
z

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