( 0.25 pontos) Considere uma esfera isolante de raio a, com o centro na origem, exibindo vetor de polarização permanente ^- P=P0 baz.
Determine:
Vetor de campo elétrico no centro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera isolante com raio $ a $, centrada na origem, que tem um vetor de polarização permanente $ \vec{P} = P_0 \hat{a}_z $. Nosso objetivo é descobrir qual é o vetor de campo elétrico no centro dessa esfera. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polarização em materiais e como ela gera campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é polarização. A polarização $ \vec{P} $ em um material descreve como as cargas elétricas se reorganizam internamente quando o material é submetido a um campo elétrico ou possui uma polarização permanente, como no nosso caso. Essa polarização gera cargas elétricas chamadas de cargas ligadas.

Passo 3

Existem dois tipos de cargas ligadas:
  1. Cargas de superfície (σ_b): Essas cargas aparecem na superfície do material e são dadas por $ \sigma_b = \vec{P} \cdot \hat{n} $, onde $ \hat{n} $ é o vetor normal à superfície.
  2. Cargas volumétricas (ρ_b): Essas cargas estão distribuídas no interior do material e são dadas por $ \rho_b = -\nabla \cdot \vec{P} $.

Passo 4

No nosso caso, a polarização $ \vec{P} = P_0 \hat{a}_z $ é constante em toda a esfera, ou seja, não varia com a posição. Vamos calcular as cargas ligadas:
  • Cargas volumétricas (ρ_b):
    P = P0 az
    Já que a divergência de um campo constante é zero.
  • Cargas de superfície (σ_b):
    rhob = -nabla cdot P = -nabla cdot (P0 az) = 0
    Aqui, $ \theta $ é o ângulo entre o vetor de polarização $ \vec{P} $ e o vetor normal à superfície $ \hat{n} $.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o campo elétrico no centro da esfera devido a essas cargas de superfície. A distribuição de carga $ \sigma_b = P_0 \cos\theta $ lembra a distribuição de uma camada de dipolo, que gera um campo elétrico uniforme dentro da esfera.

Passo 6

Sabemos, pela teoria de campos elétricos em materiais polarizados, que para uma esfera uniformemente polarizada, o campo elétrico interno $ \vec{E} $ é dado por:
E
onde $ \varepsilon_0 $ é a permitividade do vácuo.

Resposta

Portanto, o vetor de campo elétrico no centro da esfera é:
E = -P03varepsilon0 az

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