( 0.25 pontos) Considere uma esfera isolante de raio a, com o centro na origem, exibindo vetor de polarização permanente
.
Determine:
Densidades de cargas de polarização de superfície e de volume da esfera.
Determine:
Densidades de cargas de polarização de superfície e de volume da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera isolante com raio $ a $, centrada na origem, e ela está polarizada permanentemente na direção $ z $ com um vetor de polarização $ \vec{P} = P_{0} \hat{z}
\sigma_p
\rho_p $).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade de carga de volume ($ \rho_p $). A fórmula para isso é:
Isso significa que precisamos calcular a divergência do vetor de polarização $ \vec{P} $.
Passo 3
Nosso vetor de polarização é $ \vec{P} = P_{0} \hat{z} $. Em coordenadas cartesianas, isso significa que:
A divergência de $ \vec{P} $ é dada por:
Passo 4
Calculando cada termo:
Então:
Logo, a densidade de carga de volume é:
Passo 5
Agora, vamos para a densidade de carga de superfície ($ \sigma_p $). A fórmula é:
Onde $ \hat{n} $ é o vetor normal à superfície da esfera.
Passo 6
Para uma esfera, o vetor normal $ \hat{n} $ na superfície é o vetor radial, que em coordenadas esféricas é:
Mas como $ \vec{P} = P_{0} \hat{z} $, o produto escalar simplifica para:
Resposta
A densidade de carga de polarização de volume é $ \rho_p = 0 $ e a densidade de carga de polarização de superfície é $ \sigma_p = P_{0} \cos\theta $.