( 0.25 pontos) Considere uma esfera isolante de raio a, com o centro na origem, exibindo vetor de polarização permanente ^- P=P0 baz.
Determine:
Densidades de cargas de polarização de superfície e de volume da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera isolante com raio $ a $, centrada na origem, e ela está polarizada permanentemente na direção $ z $ com um vetor de polarização $ \vec{P} = P_{0} \hat{z} a ãçãíóçãí \sigma_p z \rho_p $).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade de carga de volume ($ \rho_p $). A fórmula para isso é:
rhop
Isso significa que precisamos calcular a divergência do vetor de polarização $ \vec{P} $.

Passo 3

Nosso vetor de polarização é $ \vec{P} = P_{0} \hat{z} $. Em coordenadas cartesianas, isso significa que:
P = P0 z
A divergência de $ \vec{P} $ é dada por:
Px = 0, Py = 0, Pz = P0

Passo 4

Calculando cada termo:
partial Pxpartial x = 0, partial Pypartial y = 0, partial Pzpartial z = 0
Então:
nabla cdot P = 0 + 0 + 0 = 0
Logo, a densidade de carga de volume é:
rhop = -0 = 0

Passo 5

Agora, vamos para a densidade de carga de superfície ($ \sigma_p $). A fórmula é:
sigmap
Onde $ \hat{n} $ é o vetor normal à superfície da esfera.

Passo 6

Para uma esfera, o vetor normal $ \hat{n} $ na superfície é o vetor radial, que em coordenadas esféricas é:
n
Mas como $ \vec{P} = P_{0} \hat{z} $, o produto escalar simplifica para:
n = r = sintheta cosphi , x + sintheta sinphi , y + costheta , z

Resposta

A densidade de carga de polarização de volume é $ \rho_p = 0 $ e a densidade de carga de polarização de superfície é $ \sigma_p = P_{0} \cos\theta $.

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