(1 pontos) Admita a existência de uma cuba retangular, infinitamente longa na direção
, limitada pelas superfícies condutoras aterradas:
. Na superfície
o potencial varia de acordo com
. Determine o vetor de campo elétrico em qualquer ponto da reta
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma cuba retangular que se estende infinitamente na direção $ z $. Ela é limitada por superfícies condutoras aterradas nas seguintes posições:
- $ x = 0 $ para $ 0 \leq y \leq b $
- $ y = 0 $ para $ 0 \leq x \leq a $
- $ x = a $ para $ 0 \leq y \leq b $
Na superfície onde $ y = b $ e $ 0 \leq x \leq a $, o potencial elétrico varia conforme $ V(x, b) = V \sin\left(\frac{5\pi x}{a}\right) $. A gente precisa determinar o vetor campo elétrico em qualquer ponto da reta onde $ x = \frac{a}{2} $ e $ y = 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a resolução da equação de Laplace para encontrar o potencial elétrico no interior da cuba e, depois, derivar esse potencial para encontrar o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a cuba é infinitamente longa na direção $ z $, o que nos permite assumir que o potencial elétrico $ V $ não depende de $ z $. Assim, podemos simplificar o problema para duas dimensões, considerando apenas $ x $ e $ y $.
A equação que descreve o potencial elétrico $ V(x, y) $ em regiões sem carga livre é a equação de Laplace:
Passo 3
Agora, vamos definir as condições de contorno para resolver essa equação:
- Nos condutores aterrados ($ x = 0 $, $ x = a $, $ y = 0 $), o potencial é zero:
- Na superfície onde $ y = b $, o potencial varia conforme:
Passo 4
Para resolver a equação de Laplace com essas condições de contorno, vamos usar o método de separação de variáveis. Assumimos que o potencial pode ser escrito como o produto de duas funções, uma de $ x $ e outra de $ y $:
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por $ X(x) Y(y) $:
Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias, uma para $ X(x) $ e outra para $ Y(y) $, com uma constante de separação $ -k^2 $:
Passo 5
Resolvendo as equações diferenciais:
- Para $ X(x) $:
- Para $ Y(y) $:
Aplicando as condições de contorno nos condutores aterrados:
- $ V(0, y) = 0 $ implica que $ X(0) = 0 $, então $ B = 0 $.
- $ V(a, y) = 0 $ implica que $ X(a) = 0 $, então $ \sin(ka) = 0 $.
Isso significa que $ k = \frac{n\pi}{a} $, onde $ n $ é um número inteiro positivo.
Passo 6
A solução geral para o potencial é uma soma de todas as soluções possíveis:
Mas como $ y = 0 $ é aterrada ($ V = 0 $), descartamos o termo que cresce exponencialmente para evitar potenciais infinitos. Assim, a solução simplificada é:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição de contorno na superfície $ y = b $:
Comparando os termos, vemos que apenas o termo com $ n = 5 $ contribui, pois os demais termos não aparecem na expressão da condição de contorno. Portanto, temos:
Passo 8
Agora que temos o potencial $ V(x, y) $, podemos encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ usando a relação:
Em coordenadas cartesianas, isso se traduz em:
Passo 9
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada em relação a $ x $:
Assim: - Derivada em relação a $ y $:
Assim:
Passo 10
Agora, precisamos encontrar o campo elétrico no ponto específico $ x = \frac{a}{2} $ e $ y = 0 $. Vamos substituir esses valores nas expressões de $ E_x $ e $ E_y $:
-
Para $ E_x $:Sabemos que $ \cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 0 $, então $ E_x = 0 $.
-
Para $ E_y $:Sabemos que $ \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 1 $, então $ E_y = V \cdot \frac{5\pi}{a} $.
Resposta
O vetor campo elétrico no ponto $ x = \frac{a}{2} $ e $ y = 0 $ é: