( 0.25 pontos) Considere o centro de uma esfera de raio a com carga distribuída uniformemente com densidade
. Existe uma cobertura dielétrica esférica de permissividade
, de raio interno a e raio externo
, em torno dessa esfera. Para
, existe apenas o espaço vazio de permissividade
.
Determine:
Dertermine as densidades de carga de polarização nas superfícies e no volume do dielétrico.
Determine:
Dertermine as densidades de carga de polarização nas superfícies e no volume do dielétrico.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui! Temos uma esfera central de raio $ a $ com carga distribuída de forma uniforme, onde a densidade de carga é $ \rho_s = k $. Em volta dessa esfera, tem uma camada esférica dielétrica com permissividade $ \epsilon $, que vai do raio $ a $ até o raio $ b $. Fora dessa camada, para $ R > b $, é espaço vazio com permissividade $ \epsilon_0 $. Nosso objetivo é encontrar as densidades de carga de polarização tanto nas superfícies quanto no volume desse dielétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é carga de polarização. Quando um dielétrico é colocado em um campo elétrico, as moléculas se reorganizam, criando cargas positivas e negativas internas. Essas cargas não se movem livremente, mas se deslocam ligeiramente, criando o que chamamos de polarização $ \mathbf{P} $.
Passo 3
A densidade de carga de polarização pode ser de dois tipos: superficial e volumétrica. A carga de polarização superficial ($ \sigma_p
\rho_p $) está distribuída por todo o volume do dielétrico.
Passo 4
Vamos começar encontrando a polarização $ \mathbf{P} $ no dielétrico. A relação entre o deslocamento elétrico $ \mathbf{D} $ e o campo elétrico $ \mathbf{E} $ é dada por:
Isso implica que:
Passo 5
Para encontrar $ \mathbf{E} $ dentro do dielétrico, usamos a Lei de Gauss. Considerando a simetria esférica, o campo elétrico depende somente da distância $ R $ do centro. A carga total dentro de uma superfície gaussiana de raio $ R $ é a carga da esfera central mais a carga de polarização dentro do dielétrico.
Passo 6
A carga total da esfera central é:
Passo 7
A polarização gera uma densidade de carga de polarização volumétrica dada por:
E como $ \mathbf{P} $ é radialmente simétrica:
Passo 8
Substituindo $ \mathbf{P} = (\epsilon - \epsilon_0) \mathbf{E} $ e usando a Lei de Gauss, podemos encontrar $ \mathbf{E} $ em função de $ R $ e, consequentemente, $ \rho_p $.
Passo 9
Para as densidades de carga superficial de polarização, elas são dadas por:
onde $ \hat{n} $ é o vetor normal à superfície. No nosso caso, temos duas superfícies: no raio $ a $ e no raio $ b $.
Passo 10
Calculando $ \sigma_p $ nas superfícies:
- Na superfície interna ($ R = a $):
- Na superfície externa ($ R = b $):
Resposta
As densidades de carga de polarização são:
- Densidade de carga superficial interna:
- Densidade de carga superficial externa:
- Densidade de carga de polarização volumétrica:
Onde $ P® = (\epsilon - \epsilon_0) E® $ e $ E® $ é o campo elétrico no dielétrico determinado pela Lei de Gauss.