( 0.25 pontos) O potencial na superfície de uma esfera de raio R é dado por V0.
Determine:
Admita V0=k cos (4 theta). Calcule o potenciakl elétrico dentro e fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o potencial elétrico na superfície de uma esfera de raio $ R $, que é dado por $ V_0 = k \cos(4\theta) $. O conteúdo que vamos usar aqui é da Eletrostática, especificamente a resolução da Equação de Laplace em coordenadas esféricas para encontrar o potencial tanto dentro quanto fora da esfera. Vamos precisar conhecer um pouco sobre a expansão em harmônicos esféricos e os polinômios de Legendre.

Passo 2

Primeiro, lembrando que o potencial elétrico $ V $ em regiões onde não há carga deve satisfazer a Equação de Laplace:
V
Em coordenadas esféricas e assumindo simetria azimutal (ou seja, $ V $ depende apenas de $ r $ e $ \theta $), a solução geral para o potencial é:
nabla^2 V = 0
Aqui, $ P_l(\cos\theta) $ são os polinômios de Legendre de ordem $ l $, e $ A_l $ e $ B_l $ são constantes a serem determinadas pelas condições do problema.

Passo 3

Dado que o potencial na superfície é $ V_0 = k \cos(4\theta) $, isso sugere que somente o termo com $ l = 4 $ está presente (porque $ \cos(4\theta) $ é proporcional a $ P_4(\cos\theta) $). Então, nossa solução fica simplificada para:
V0 = k cos(4theta)
Agora, aplicamos a condição de contorno na superfície da esfera ($ r = R $):
l = 4
Isso implica que:
cos(4theta)

Passo 4

Para determinar $ A_4 $ e $ B_4 $, precisamos considerar o comportamento do potencial tanto dentro quanto fora da esfera:
  • Dentro da esfera ($ r < R $): O potencial não deve divergir quando $ r \to 0 $, então descartamos o termo $ r^{-5} $. Assim, temos:
A4
Aplicando a condição de contorno:
B4
Então:
r < R
  • Fora da esfera ($ r > R $): O potencial deve decair quando $ r \to \infty $, então descartamos o termo $ r^4 $. Assim, temos:
r to 0
Usando a condição de contorno:
r^-5
Então:
Vdentro(r, theta) = A4 r^4 P4(costheta)

Resposta

O potencial elétrico dentro e fora da esfera é dado por:
Vdentro(r, theta) = k ( rR )^4 P4(costheta)
Vfora(r, theta) = k ( Rr )^5 P4(costheta)

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