( 0.25 pontos) Considere uma esfera de raio a carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga rho=rho0 ^ra, em que rho0 é uma constante de r é a distância de um ponto a origem. Assuma que o interior e exterior da esfera tenham a mesma permissividade do vácuo.
Determine:
O campo elétrico nas regiões r e r>a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera de raio $ a $ com uma densidade de carga que varia com a distância $ r $ até a origem, dada por $ \rho = \rho_0 \frac{r}{a} a éé r < a r r > a $). Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para calcular campos elétricos com simetrias específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total que passa por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 $):
varepsilon0
Como nossa esfera tem simetria esférica, vamos usar uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico para $ r < a $ primeiro (dentro da esfera). A carga total dentro dessa superfície gaussiana é a integral da densidade de carga até o raio $ r $:
r < a
Simplificando:
r

Passo 4

Agora, aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0 = pi rho0 r^4a varepsilon0
Resolvendo para $ E $:
E

Passo 5

Agora vamos para $ r > a $ (fora da esfera). Toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana, então a carga total da esfera precisa ser calculada:
r > a

Passo 6

Aplicando novamente a Lei de Gauss para $ r > a $:
r > a
Resolvendo para $ E $:
oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 = pi rho0 a^3varepsilon0

Resposta

O campo elétrico é dado por:
E(r) = dfracrho0 r^24,varepsilon0 a r & para r < a dfracrho0 a^34,varepsilon0 r^2 r & para r > a

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