( 0.25 pontos) Considere uma esfera de raio a carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga
, em que
é uma constante de
é a distância de um ponto a origem. Assuma que o interior e exterior da esfera tenham a mesma permissividade do vácuo.
Determine:
O campo elétrico nas regiões
e
Determine:
O campo elétrico nas regiões
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera de raio $ a $ com uma densidade de carga que varia com a distância $ r $ até a origem, dada por $ \rho = \rho_0 \frac{r}{a}
r < a
r > a $). Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa na eletrostática para calcular campos elétricos com simetrias específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total que passa por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 $):
Como nossa esfera tem simetria esférica, vamos usar uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico para $ r < a $ primeiro (dentro da esfera). A carga total dentro dessa superfície gaussiana é a integral da densidade de carga até o raio $ r $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Passo 5
Agora vamos para $ r > a $ (fora da esfera). Toda a carga da esfera está dentro da superfície gaussiana, então a carga total da esfera precisa ser calculada:
Passo 6
Aplicando novamente a Lei de Gauss para $ r > a $:
Resolvendo para $ E $:
Resposta
O campo elétrico é dado por: