( 25 pontos) Se \delta representa a função Delta de Dirac, resolva o problema de valor inicial abaixo:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}-y=4 \delta(t-2)+t^{2} \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y''(t)-y(t)=4\,\delta(t-2)+t^2,\\\ y(0)=0,\quad y'(0)=2, \end{cases}
que é uma EDO linear não homogênea com um termo impulsivo em t=2 e termo polinomial t^2. Vamos resolver em duas fases: antes de t=2 (onde só aparece o termo t^2) e depois de t=2 (onde há o efeito do impulso).

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte contínua (para 0\le t<2):
  1. Homogênea: \,y_h=C_1e^t+C_2e^{-t}.
  2. Particular para o termo t^2: suponha y_p=At^2+Bt+C.
    Então y_p''-y_p=2A-(At^2+Bt+C)=-A\,t^2 -B\,t+(2A-C)\overset{!}{=}t^2.Igualando coeficientes: -A=1\implies A=-1,\quad -B=0\implies B=0,\quad 2A-C=0\implies C=-2.Logo y_p=-t^2-2.
    Assim, para t<2,
y_1(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}-t^2-2.
Impondo y_1(0)=0 e y_1'(0)=2:
y_1(0)=C_1+C_2-2=0\implies C_1+C_2=2,
y_1'(t)=C_1e^t-C_2e^{-t}-2t\implies y_1'(0)=C_1-C_2=2.
Resolvendo, C_1=2,\;C_2=0.
Portanto
\boxed{y_1(t)=2e^t-t^2-2,\quad 0\le t<2.}

Passo 3

No instante t=2 ocorre o impulso. Como y não recebe impulso, é contínua em t=2:
y_2(2^+)=y_1(2^-)=2e^2-6.
Para y' temos salto dado pela integral da EDO em torno de t=2:
\int_{2^-}^{2^+}(y''-y)\,dt=\int_{2^-}^{2^+}(4\delta(t-2)+t^2)\,dt
\implies y'(2^+)-y'(2^-)=4.
Como y_1'(2^-)=2e^2-4, conclui-se
y'(2^+)=2e^2-4+4=2e^2.

Passo 4

Para t>2 escrevemos de novo
y_2(t)=D_1e^t+D_2e^{-t}-t^2-2.
As condições em t=2 dão o sistema
y_2(2)=D_1e^2+D_2e^{-2}-6=2e^2-6,
y_2'(2)=D_1e^2-D_2e^{-2}-4=2e^2.
Chamando X=D_1e^2 e Y=D_2e^{-2}, temos
X+Y=2e^2,\quad X-Y=2e^2+4
\implies X=2e^2+2,\;Y=-2.
Logo
D_1=\frac{X}{e^2}=2+2e^{-2},\quad D_2=Y\,e^2=-2e^2.
Portanto, para t\ge2,
\boxed{y_2(t)=(2+2e^{-2})e^t-2e^2e^{-t}-t^2-2.}

Resposta

Assim a solução completa é
y(t)= \begin{cases} 2e^t - t^2 - 2,&0\le t<2,\\\ (2+2e^{-2})\,e^t - 2e^2\,e^{-t} - t^2 - 2,&t\ge2. \end{cases}

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