( 25 pontos) Se
representa a função Delta de Dirac, resolva o problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
que é uma EDO linear não homogênea com um termo impulsivo em
e termo polinomial
. Vamos resolver em duas fases: antes de
(onde só aparece o termo
) e depois de
(onde há o efeito do impulso).
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da parte contínua (para
):
- Homogênea:
- Particular para o termo
: suponha .
EntãoIgualando coeficientes: Logo .
Assim, para,
Impondo
e
:
Resolvendo,
.
Portanto
Portanto
Passo 3
No instante
ocorre o impulso. Como
não recebe impulso, é contínua em
:
Para
temos salto dado pela integral da EDO em torno de
:
Como
, conclui-se
Passo 4
Para
escrevemos de novo
As condições em
dão o sistema
Chamando
e
, temos
Logo
Portanto, para
,
Resposta
Assim a solução completa é