Considere r_{1}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t) e r_{2}(t)=\left(1, t^{2}, t^{3}\right), t \geq 0 as funções posição de duas partículas.
a) Esboce os gráficos das trajetorias das duas partículas.
b) Encontre todos os pontos de interseção das trajetórias das duas partículas.
c) Determine a velocidade e a velocidade escalar das duas partículas nos pontos encontrados no item (b).
d) Esboce os vetores da velocidade e aceleração da partícula r_{1}(t) nos pontos encontrados no item (b).

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias em \mathbb{R}^3:
\mathbf r_{1}(t)=(\cos t,\sin t,t) e \mathbf r_{2}(t)=(1,t^{2},t^{3}), com t\ge0.
Vamos (a) esboçar as curvas, (b) achar interseções resolvendo \mathbf r_{1}(u)=\mathbf r_{2}(v), (c) calcular vetores velocidade \mathbf v_i=\mathbf r_i' e velocidades escalares nos pontos de interseção, e (d) esboçar \mathbf v_{1} e \mathbf a_{1}=\mathbf r_{1}'' nesses pontos.

Passo 2

Para (a),
\mathbf r_{1} projeta no plano xy um círculo unitário e sobe linearmente em z, formando uma hélice de raio 1 ao redor do eixo z.
\mathbf r_{2} fica no plano x=1 e projeta no plano yz a curva y=t^{2},\,z=t^{3}, que para t\ge0 sai de (0,0) e cresce suavemente.

Passo 3

Para (b), igualamos
\cos u = 1,\quad \sin u = v^{2},\quad u = v^{3}.
De \cos u=1 segue u=2k\pi, então \sin u=0\implies v^{2}=0\implies v=0. E u=v^{3}=0 força k=0.
Logo o único ponto comum é
\mathbf r_{1}(0)=\mathbf r_{2}(0)=(1,0,0).

Passo 4

Para (c), calculamos
\mathbf v_{1}(t)=\mathbf r_{1}'(t)=(-\sin t,\cos t,1),\quad \mathbf v_{2}(t)=\mathbf r_{2}'(t)=(0,2t,3t^{2}).
Em t=0:
\mathbf v_{1}(0)=(0,1,1) com velocidade escalar \|\mathbf v_{1}(0)\|=\sqrt{2}.
\mathbf v_{2}(0)=(0,0,0) com velocidade escalar 0.

Passo 5

Para (d), a aceleração de \mathbf r_{1} é
\mathbf a_{1}(t)=\mathbf r_{1}''(t)=(-\cos t,-\sin t,0),
que em t=0 vale \mathbf a_{1}(0)=(-1,0,0).
No ponto (1,0,0), o vetor velocidade (0,1,1) aponta diagonalmente no plano yz ( 45\circ entre y e z), e o vetor aceleração (-1,0,0) aponta no sentido negativo de x.

Resposta

a) Hélice de raio 1 subindo ao longo de z e curva no plano x=1 dada por y=t^{2}, z=t^{3}.
b) Apenas o ponto (1,0,0).
c) \mathbf{v}_{1}(0)=(0,1,1), \|\mathbf{v}_{1}(0)\|=\sqrt{2};; \mathbf{v}_{2}(0)=(0,0,0), \|\mathbf{v}_{2}(0)\|=0.
d) \mathbf{v}_{1}(0)=(0,1,1) e \mathbf{a}_{1}(0)=(-1,0,0), esboçados no ponto (1,0,0).

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