Seja f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \[f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leq x \leq 1 \\\\ 2, & 1<x \leq 2\end{cases}
(a) ( 25 pontos) Encontre a série de Fourier em senos de f\]. (b) ( 15 pontos) Determine o limite da série encontrada no ítem (a) quando \(x=\frac{1}{2} e depois quando x=1.

Passo 1

O enunciado define
f:[0,2]\to\mathbb{R},\quad f(x)= \begin{cases} x, & 0\le x\le1,\\\\ 2, & 1<x\le2, \end{cases}
e pede em (a) a expansão em série de Fourier em senos no intervalo [0,2] (metodologia de meia-faixa) e em (b) o valor da soma dessa série nos pontos x=\tfrac12 e x=1. Para isso vamos usar a fórmula
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx
com L=2, integração por partes e a regra de convergência de Fourier em pontos de continuidade e descontinuidade.

Passo 2

Como L=2, a série de Fourier em senos é
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr),
onde
b_n =\int_{0}^{2}f(x)\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Quebramos a integral em
b_n =\int_{0}^{1}x\sin(ax)\,dx +\int_{1}^{2}2\sin(ax)\,dx,
com a=\tfrac{n\pi}{2}.
Para a primeira parte usamos integração por partes ( u=x, dv=\sin(ax)\,dx):
\int_{0}^{1}x\sin(ax)\,dx =\Bigl[-\frac{x\cos(ax)}{a}\Bigr]_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\frac{\cos(ax)}{a}\,dx =-\frac{\cos(a)}{a}+\frac{\sin(a)}{a^2}.

Passo 4

Para a segunda parte:
\int_{1}^{2}2\sin(ax)\,dx =2\Bigl[-\frac{\cos(ax)}{a}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{-2\cos(2a)+2\cos(a)}{a}.
Somando,
b_n =\frac{\sin(a)}{a^2}-\frac{\cos(a)}{a} +\frac{2\cos(a)-2\cos(2a)}{a} =\frac{\sin(a)}{a^2}+\frac{\cos(a)-2\cos(2a)}{a}.

Passo 5

Substituindo a=\frac{n\pi}{2}, nota-se
\frac1{a^2}=\frac{4}{n^2\pi^2},\quad \frac1{a}=\frac{2}{n\pi},\quad \cos(2a)=\cos(n\pi)=(-1)^n.
Além disso \sin(\tfrac{n\pi}{2}) e \cos(\tfrac{n\pi}{2}) são valores bem-conhecidos. Logo
b_n =\frac{4\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n^2\pi^2} +\frac{2\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n\pi} -\frac{4(-1)^n}{n\pi}.

Passo 6

Portanto a expansão em série de Fourier em senos fica:
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{4\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n^2\pi^2} +\frac{2\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n\pi} -\frac{4(-1)^n}{n\pi} \Biggr] \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr).

Passo 7

Para o item (b) usamos que uma série de Fourier converge em pontos de continuidade a f(x) e em pontos de descontinuidade ao valor médio \tfrac{f(x^-)+f(x^+)}2.

Passo 8

Em x=\tfrac12 a função é contínua e f(\tfrac12)=\tfrac12. Assim a soma da série é
\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{2}\cdot\tfrac12\Bigr) =\frac12.

Passo 9

Em x=1 há descontinuidade: f(1^-)=1, f(1^+)=2. Logo a série converge para
\frac{1+2}{2}=\frac32.

Resposta

(a)
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{4\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n^2\pi^2} +\frac{2\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)}{n\pi} -\frac{4(-1)^n}{n\pi} \Biggr] \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr).
(b) O limite da série em x=\tfrac12 é \tfrac12 e em x=1 é \tfrac32.

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