Resolva a equação de Clairaut e obtenha solução singular
y=x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y = x\biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^{3}
Esta equação é do tipo de Lagrange (ou “generalizada de Clairaut”)
da forma
y = x\,\varphi(p) + \psi(p),\quad p = \frac{dy}{dx}.
Aqui temos \varphi(p)=p^{3} e \psi(p)=0.

Passo 2

Introduzimos p=\frac{dy}{dx}. Então
y = x\,p^{3}.
Diferenciando em relação a x (tratando p como função de x),
\frac{dy}{dx}=p \;=\;\frac{d}{dx}\bigl(x\,p^{3}\bigr) \;=\;p^{3}+x\cdot3p^{2}\,\frac{dp}{dx}.
Rearranjando,
3x\,p^{2}\,\frac{dp}{dx}=p-p^{3}=p(1-p^{2}).

Passo 3

Separamos as variáveis x e p:
3\,\frac{p}{1-p^{2}}\,dp =\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos os dois lados:
\int 3\,\frac{p}{1-p^{2}}\,dp =\int \frac{dx}{x}.
Na integral à esquerda fazemos a substituição u=1-p^{2}, obtendo
\int 3\,\frac{p}{1-p^{2}}\,dp =-\tfrac{3}{2}\ln\bigl|1-p^{2}\bigr| \quad\text{e}\quad \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.
Logo
-\tfrac{3}{2}\ln\bigl|1-p^{2}\bigr|=\ln|x|+C
\Longrightarrow \ln\bigl|1-p^{2}\bigr|^{-\tfrac{3}{2}}=\ln\bigl|Kx\bigr| \quad\bigl(K=e^{-C}\bigr)
\Longrightarrow (1-p^{2})^{-\tfrac{3}{2}}=Kx \;\;\Longrightarrow\;\; 1-p^{2}=(Kx)^{-\tfrac{2}{3}}.

Passo 5

Da relação y=x\,p^{3} e 1-p^{2}=(Kx)^{-\tfrac{2}{3}} obtemos a solução geral em forma paramétrica (parâmetro p)
x=K^{-1}(1-p^{2})^{-\tfrac{3}{2}}, \quad y=K^{-1}p^{3}(1-p^{2})^{-\tfrac{3}{2}}.
Eliminando p, uma forma explícita é
y =\pm\,x\bigl[\,1-(Kx)^{-\tfrac{2}{3}}\bigr]^{\tfrac{3}{2}}.

Passo 6

Para achar a solução singular usamos o envelope da família geral, ou seja, resolvemos
F(x,y,p)=y-xp^{3}=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial p}=-3xp^{2}=0.
A segunda condição dá p=0. Substituindo em F=0 resulta
y - x\cdot0^{3}=0 \;\Longrightarrow\; y=0.

Resposta

A solução singular da equação é
\boxed{y=0}.
A família de soluções gerais em parâmetro p é
x=K^{-1}(1-p^{2})^{-\tfrac{3}{2}}, \quad y=K^{-1}p^{3}(1-p^{2})^{-\tfrac{3}{2}},
ou, de modo explícito,
y=\pm\,x\bigl[\,1-(Kx)^{-\tfrac{2}{3}}\bigr]^{\tfrac{3}{2}},
com constante K\neq0.

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