Resolva a equação de Clairaut e obtenha solução singular
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Esta equação é do tipo de Lagrange (ou “generalizada de Clairaut”)
da forma
da forma
Aqui temos
e
.
Passo 2
Introduzimos
. Então
Diferenciando em relação a
(tratando
como função de
),
Rearranjando,
Passo 3
Separamos as variáveis
e
:
Passo 4
Integramos os dois lados:
Na integral à esquerda fazemos a substituição
, obtendo
Logo
Passo 5
Da relação
e
obtemos a solução geral em forma paramétrica (parâmetro
)
Eliminando
, uma forma explícita é
Passo 6
Para achar a solução singular usamos o envelope da família geral, ou seja, resolvemos
A segunda condição dá
. Substituindo em
resulta
Resposta
A solução singular da equação é
A família de soluções gerais em parâmetro
é
ou, de modo explícito,
com constante
.