Considere uma barra de comprimento
e coeficiente de difusão
, com temperatura inicial (
) uniforme de
quando
. Em
a temperatura é fixa igual a
e em
a temperatura também é fixa igual
.
(a) ( 25 pontos) Determine a temperatura na barra em qualquer instante
.
(b) ( 10 pontos) Determine a temperatura estado estacionário.
(a) ( 25 pontos) Determine a temperatura na barra em qualquer instante
(b) ( 10 pontos) Determine a temperatura estado estacionário.
Passo 1
O problema dá uma barra de comprimento
com coeficiente de difusão
(logo
). A equação de calor unidimensional é
com condição inicial
e condições de contorno
Vamos decompor a solução em uma parte estacionária e uma parte transitória e usar separação de variáveis.
Passo 2
Procuramos a solução em estado estacionário
que independe de
e satisfaz
com
e
. Integrando,
Impondo
e
resulta em
. Portanto,
Passo 3
Definimos a parte transitória
Então
e as condições de contorno ficam homogêneas:
A condição inicial em
é
Passo 4
Como
, expandimos em série de senos:
Passo 5
Os coeficientes
são dados por
Usando
com
, obtemos
Passo 6
Voltando à
, a solução completa é
Resposta
(a)
(b)