Considere uma barra de comprimento L=10 e coeficiente de difusão \alpha^{2}=4, com temperatura inicial ( t=0 ) uniforme de -5^{\circ} \mathrm{C} quando 0<x<10. Em x=0 a temperatura é fixa igual a -5^{\circ} \mathrm{C} e em x=10 a temperatura também é fixa igual 10^{\circ} \mathrm{C}.
(a) ( 25 pontos) Determine a temperatura na barra em qualquer instante t.
(b) ( 10 pontos) Determine a temperatura estado estacionário.

Passo 1

O problema dá uma barra de comprimento L=10 com coeficiente de difusão \alpha^2=4 (logo \alpha=2). A equação de calor unidimensional é
u_t = 4\,u_{xx},
com condição inicial
u(x,0)=-5,\quad 0<x<10,
e condições de contorno
u(0,t)=-5,\quad u(10,t)=10.
Vamos decompor a solução em uma parte estacionária e uma parte transitória e usar separação de variáveis.

Passo 2

Procuramos a solução em estado estacionário \varphi(x) que independe de t e satisfaz
\varphi''(x)=0,
com \varphi(0)=-5 e \varphi(10)=10. Integrando,
\varphi'(x)=C_1,\qquad \varphi(x)=C_1\,x+C_2.
Impondo \varphi(0)=C_2=-5 e \varphi(10)=10=10C_1-5 resulta em C_1=1{,}5. Portanto,
\varphi(x)=1{,}5\,x-5.

Passo 3

Definimos a parte transitória
v(x,t)=u(x,t)-\varphi(x).
Então
v_t =u_t =4u_{xx}=4v_{xx},
e as condições de contorno ficam homogêneas:
v(0,t)=u(0,t)-\varphi(0)=(-5)-(-5)=0,\quad v(10,t)=u(10,t)-\varphi(10)=10-10=0.
A condição inicial em v é
v(x,0)=u(x,0)-\varphi(x)=-5-\bigl(1{,}5\,x-5\bigr)=-1{,}5\,x.

Passo 4

Como v(0,t)=v(10,t)=0, expandimos em série de senos:
v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{10}x\bigr)\exp\!\Bigl[-4\bigl(\tfrac{n\pi}{10}\bigr)^2t\Bigr].

Passo 5

Os coeficientes B_n são dados por
B_n=\frac{2}{10}\int_{0}^{10}v(x,0)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{10}x\bigr)\,dx =\frac{1}{5}\int_{0}^{10}(-1{,}5x)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{10}x\bigr)\,dx.
Usando
\int_{0}^{L}x\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr)\,dx =-\frac{L^2(-1)^n}{n\pi},
com L=10, obtemos
B_n =\frac{-1{,}5}{5}\Bigl(-\frac{100(-1)^n}{n\pi}\Bigr) =\frac{30(-1)^n}{n\pi}.

Passo 6

Voltando à u(x,t)=\varphi(x)+v(x,t), a solução completa é
u(x,t) =1{,}5\,x-5 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{30(-1)^n}{n\pi} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{10}x\Bigr) \exp\!\Bigl[-4\bigl(\tfrac{n\pi}{10}\bigr)^2t\Bigr].

Resposta

(a)
u(x,t) =1{,}5\,x-5 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{30(-1)^n}{n\pi} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{10}x\Bigr) e^{-4(n\pi/10)^2t}.
(b)
u_{\text{est}}(x)=1{,}5\,x-5.

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