( 25 pontos) Um disco cilíndrico de madeira pesando 5,0 \mathrm{~N} e tendo diametro de D=30.0 \mathrm{~cm} flutua sobre um cilindro de óleo de densidade \rho_{\text {óleo }}=0,850 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}ó. O cilindro de óleo tem H=75,0 \mathrm{~cm} de profundidade e diametro igual ao madeira.
(a) ( 05 pontos) Qual é a pressão manométrica no topo da coluna de óleo?
(b) ( 10 pontos) Determine a pressão manométrica no fundo da coluna de óleo.
(c) ( 10 pontos) Suponha agora que alguém coloque um peso de 83,0 \mathrm{~N} em cima da madeira, mas nenhum óleo escoe pela borda da madeira. Qual é a mudança na pressão na metade da altura do óleo?

Passo 1

O enunciado trata de um disco cilíndrico de madeira (peso 5{,}0,N, diâmetro D=0{,}30,m) que flutua sobre óleo de densidade \rho_{\text{óleo}}=0{,}850ó,g/c m^{3} =850,kg/ m^{3} numa coluna de altura H=0{,}75,m e mesmo diâmetro do disco. Precisamos usar estática dos fluidos:
– Para (a) e (b), aplicamos a relação
P_{\text{fundo}}=P_{\text{topo}}+\rho g H,
once P_{\text{topo}} é a pressão manométrica logo abaixo do disco (devida ao peso do disco).
– Para (c), usamos o princípio de Pascal: qualquer acréscimo de pressão no topo do fluido se transmite integralmente a qualquer profundidade.

Passo 2

Calculamos a área da base do disco (que é a área de contato com o óleo):
A = \pi\Bigl(\frac{D}{2}\Bigr)^{2} = \pi\bigl(0{,}15\bigr)^{2} = 0{,}070685\\ \text{m}^{2}.
A pressão manométrica no topo da coluna (logo sob o disco) é P_{\text{topo}}=F/A, com F=5{,}0,N:
P_{\text{topo}} = \frac{5{,}0}{0{,}070685} \approx 70{,}7\\ \text{Pa}.

Passo 3

Agora a pressão manométrica no fundo da coluna de óleo é
P_{\text{fundo}} = P_{\text{topo}} + \rho_{\text{óleo}}\,g\,H =70{,}7\;\text{Pa} + (850\;\text{kg/m}^3)(9{,}8\;\text{m/s}^2)(0{,}75\;\text{m}) \approx 70{,}7 + 6247{,}5 = 6318\;\text{Pa}.ó

Passo 4

Ao colocar um peso extra F_{\text{extra}}=83{,}0,N sobre o disco sem deixar óleo vazar, a pressão no topo aumenta em
\Delta P_{\text{topo}} = \frac{F_{\text{extra}}}{A} = \frac{83{,}0}{0{,}070685} \approx 1175\\ \text{Pa}.
Pelo princípio de Pascal, essa mesma variação de pressão alcança qualquer profundidade do óleo, inclusive a metade da coluna.

Resposta

(a) P_{\text{topo}} \approx 70{,}7\\ \text{Pa}
(b) P_{\text{fundo}} \approx 6{,}32\times10^{3}\\ \text{Pa}
(c) \Delta P na metade da altura =1175\\ \text{Pa}

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