( 25 pontos) Um recipiente fechado contém 40 gramas de gás Hélio (He) à temperatura de 300 K e pressão de 1 atm .
(a) ( 05 pontos) Determine a massa de cada átomo de Hélio.
(b) ( 10 pontos) Determine o número de mols e o volume do gás.
(c) ( 10 pontos) Determine a velocidade média v_{\text {méd }}é e a velocidade média quadrática v_{\text {mq }} dos átomos de Hélio.

Passo 1

O enunciado diz que temos um recipiente fechado contendo 40 gramas de gás Hélio ( \mathrm{He}) à temperatura de 300,K e pressão de 1,atm.
Conteúdo da matéria: gás ideal e teoria cinética dos gases.
O que vamos precisar:
– massa molar do hélio e constante de Avogadro para achar a massa de um átomo;
– equação dos gases ideais \displaystyle pV = nRT para determinar número de mols n e volume V;
– distribuição de Maxwell–Boltzmann para obter velocidade média e velocidade quadrática média.

Passo 2

Para achar a massa de cada átomo de He, usamos
m = \frac{M_\mathrm{molar}}{N_A},
onde \displaystyle M_\mathrm{molar} = 4{,}0026\times10^{-3},kg/mol é a massa molar do He e \displaystyle N_A = 6{,}022\times10^{23},mol ^{-1} é a constante de Avogadro.
Substituindo,
m = \frac{4{,}0026\times10^{-3}}{6{,}022\times10^{23}} \approx 6{,}646\times10^{-27}\;\mathrm{kg}.

Passo 3

Primeiro, o número de mols n:
n = \frac{\text{massa total}}{M_\mathrm{molar}} = \frac{40\times10^{-3}}{4{,}0026\times10^{-3}} \approx 9{,}99\;\mathrm{mol}.
Em seguida, o volume V via equação dos gases ideais, com \displaystyle R = 8{,}314,J/(mol·K) e \displaystyle p = 1{,}013\times10^{5},Pa:
V = \frac{nRT}{p} = \frac{9{,}99 \times 8{,}314 \times 300}{1{,}013\times10^{5}} \approx 0{,}246\;\mathrm{m^3}.

Passo 4

As velocidades estatísticas vêm da distribuição de Maxwell–Boltzmann.
Velocidade média
v_{\text{méd}} = \sqrt{\frac{8k_B T}{\pi\,m}},é
e velocidade quadrática média (RMS)
v_{\text{mq}} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}},
onde \displaystyle k_B = 1{,}381\times10^{-23},J/K e m é a massa de um átomo do Passo 2.
Substituindo T=300,K e m=6{,}646\times10^{-27},kg:
v_{\text{méd}} = \sqrt{\frac{8 \times 1{,}381\times10^{-23} \times 300}{\pi \times 6{,}646\times10^{-27}}} \approx 1{,}26\times10^{3}\;\mathrm{m/s},é
v_{\text{mq}} = \sqrt{\frac{3 \times 1{,}381\times10^{-23} \times 300}{6{,}646\times10^{-27}}} \approx 1{,}37\times10^{3}\;\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \,m \approx 6{,}646\times10^{-27},kg por átomo de He.
(b) \,n \approx 9{,}99,mol e \,V \approx 0{,}246,m³.
(c) \,v_{\text{méd}} \approx 1{,}26\times10^{3}é,m/s e \,v_{\text{mq}} \approx 1{,}37\times10^{3},m/s.

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