. (6 pontos) Sejam V e W vetores no espaço tais que V \times W=(-3,0,4). A área do paralelogramo determinado pelos vetores T=V+W e U=2 V vale:
a). 10
b). 50
c). 2 \sqrt{2}
d). \sqrt{10}
e). 5

Passo 1

O enunciado dá os vetores V e W no espaço, sabendo que
V \times W = (-3,0,4).
Pede-se a área do paralelogramo determinado por
T = V + W \quad\text{e}\quad U = 2V.
O conteúdo aqui é produto vetorial e magnitude de vetor: a área do paralelogramo formado por dois vetores U e T é
\text{Área} = \bigl\lvert U \times T\bigr\rvert.Á

Passo 2

Escrevemos
\text{Área} = \bigl\lvert U \times T\bigr\rvert = \bigl\lvert (2V) \times (V + W)\bigr\rvert.Á
Aqui usamos a propriedade distributiva do produto vetorial.

Passo 3

Aplicando a distributividade e sabendo que V \times V = 0, obtém-se
(2V)\times(V+W) = 2\bigl(V\times V + V\times W\bigr) = 2\bigl(0 + V\times W\bigr) = 2\,(V\times W).

Passo 4

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\text{Área} = \bigl\lvert 2\,(V\times W)\bigr\rvert = 2\,\bigl\lvert V\times W\bigr\rvert.Á
E como V\times W = (-3,0,4), temos
\bigl\lvert V\times W\bigr\rvert = \sqrt{(-3)^{2} + 0^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5.
Portanto
\text{Área} = 2 \times 5 = 10.Á

Resposta

10

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