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(8) (25 pontos ) Encontre o vetor V no espaço sabendo que V é simultaneamente ortogonal a U= (1,0,0) e W=(1,1,0),\|V\|=10 e o ângulo \theta entre V e Z=(0,0,1) satisfaz 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede um vetor V=(x,y,z) em \mathbb{R}^3 que seja ortogonal a U=(1,0,0) e a W=(1,1,0), tenha norma \|V\|=10 e o ângulo \theta entre V e Z=(0,0,1) satisfaça 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}. Vamos usar produtos escalares para impor ortogonalidade, depois a definição de norma e, por fim, a condição sobre o ângulo.

Passo 2

Impondo ortogonalidade a U e a W:
V\cdot U = x\cdot1 + y\cdot0 + z\cdot0 = x = 0,
V\cdot W = x\cdot1 + y\cdot1 + z\cdot0 = x + y = 0.
Da primeira equação vem x=0. Substituindo em x+y=0 obtém-se y=0. Logo V=(0,0,z).

Passo 3

A norma de V deve ser 10:
\|V\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + z^2} = |z| = 10,
ou seja, z = \pm 10.

Passo 4

O ângulo \theta entre V e Z satisfaz
\cos\theta = \frac{V\cdot Z}{\|V\|\;\|Z\|} = \frac{z}{10\cdot1} = \frac{z}{10}.
Como 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} implica \cos\theta\ge0, devemos ter z\ge0. Portanto z=10.

Resposta

V = (0,0,10)

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