( 25 pontos) Encontre a solução da EDO abaixo:
x y y^prime+x=-y^22
(x^2 y-x) y^prime=-y

Passo 1

O enunciado pede pra resolver uma EDO de primeira ordem. A forma original é x,y,y'+x=-y^22 e, logo em seguida, aparece ela reescrita como (x^2y - x),y' = -y. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas (ou com fator integrante) e vamos precisar reescrever na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0.

Passo 2

Começando pela versão x,y,y'+x=-tfracy^22, a gente multiplica tudo por dx e leva todos os termos pro mesmo lado:

Passo 3

x,y,dy , + ; x,dx ; + ; y^22,dx = 0

Passo 4

Daí identificamos

Passo 5

M(x,y) = x + y^22, N(x,y) = x,y

Passo 6

Agora a teoria da equação exata: a EDO M,dx+N,dy=0 é exata se partial M/partial y = partial N/partial x. Vamos conferir:

Passo 7

partial Mpartial y = y, partial Npartial x = y

Passo 8

Como os dois dão y, a equação é exata.

Passo 9

Para resolver, procuramos uma função potencial F(x,y) tal que partial F/partial x = M e partial F/partial y = N. Primeiro integramos M em relação a x:

Passo 10

F(x,y) = integral l(x + y^22r)dx = x^22 + x,y^22 + h(y)

Passo 11

Depois impomos partial F/partial y = N, ou seja:

Passo 12

partial Fpartial y = x,y + h'(y) = N = x,y

Passo 13

Daí vem h'(y)=0, ou seja h(y) é constante.

Passo 14

A solução implícita geral fica:

Passo 15

F(x,y) = x^22 + x,y^22 = C

Passo 16

Podemos multiplicar por 2 pra simplificar:

Passo 17

x^2 + x,y^2 = K, K=2C constante

Resposta

x^2 + x,y^2 = K, onde K é constante arbitrária.

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