( 25 pontos) Encontre a solução da EDO abaixo:
Passo 1
O enunciado pede pra resolver uma EDO de primeira ordem. A forma original é
e, logo em seguida, aparece ela reescrita como
. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas (ou com fator integrante) e vamos precisar reescrever na forma
.
Passo 2
Começando pela versão
, a gente multiplica tudo por
e leva todos os termos pro mesmo lado:
Passo 3
Passo 4
Daí identificamos
Passo 5
Passo 6
Agora a teoria da equação exata: a EDO
é exata se
. Vamos conferir:
Passo 7
Passo 8
Como os dois dão
, a equação é exata.
Passo 9
Para resolver, procuramos uma função potencial
tal que
e
. Primeiro integramos
em relação a
:
Passo 10
Passo 11
Depois impomos
, ou seja:
Passo 12
Passo 13
Daí vem
, ou seja
é constante.
Passo 14
A solução implícita geral fica:
Passo 15
Passo 16
Podemos multiplicar por 2 pra simplificar: