Sejam
. Mostre que:
i) Se
e
, então
.
ii)
se e somente se
.
i) Se
ii)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar propriedades do máximo divisor comum (mdc) envolvendo divisibilidade e combinações de inteiros. Vamos usar definições básicas: se d = mdc(x,y), então d|x e d|y, e é o maior inteiro com essa propriedade.
Passo 2
Para a parte i), suponha que a|b e mdc(b,c)=1. Seja d = mdc(a,c). Então d|a e d|c. Como a|b, necessariamente d|b. Logo d é divisor comum de b e c, logo d|m dc(b,c)=1. Assim d=±1 e mdc(a,c)=1.
Passo 3
Para o “só se” da parte ii), suponha mdc(ab,c)=1. Seja d₁ = mdc(a,c). Como d₁|a e d₁|c, temos d₁|ab e d₁|c, logo d₁|m dc(ab,c)=1, isto é, d₁=1, logo mdc(a,c)=1. De modo idêntico mostramos que mdc(b,c)=1.
Passo 4
Para o “se” da parte ii), suponha mdc(a,c)=1 e mdc(b,c)=1. Qualquer divisor comum d de ab e c tem fator primo p|d que satisfaz p|ab e p|c. Então p|a ou p|b. Mas p não divide nem a nem b, pois entraria em contradição com m dc(a,c)=1 ou m dc(b,c)=1. Assim não há primo p dividindo ab e c, e o único divisor comum é 1. Logo mdc(ab,c)=1.
Resposta
i) mdc(a,c)=1. ii) mdc(ab,c)=1 se, e somente se, mdc(a,c)=mdc(b,c)=1.