Classifique as EDO’s de primeira ordem abaixo determinando cada uma delas como linear ou nảo-linear, separável ou não-separável, exata ou não-exata, justificando sua resposta:
(cos x) y^prime-2 y=sin x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a EDO de primeira ordem
(cos x),y' - 2y = sin x
dizendo se ela é linear ou não, separável ou não-separável, exata ou não-exata. O conteúdo envolve definição de equação linear de 1ª ordem, separabilidade e exatidão.

Passo 2

Pra checar linearidade, a gente quer ver se dá pra pôr no formato padrão
y' + P(x),y = Q(x)
. A equação original é
(cos x),y' - 2y = sin x
. Se a gente dividir tudo por cos x (assumindo que cos xne0), fica:
y' - 2cos x,y = tan x
Isso bate certinho com o formato de equação linear de 1ª ordem, com
P(x) = -2/cos x e Q(x)=tan x. Então é uma EDO linear.

Passo 3

Agora, para ser separável, teria que conseguir escrever algo como
g(y),dy = h(x),dx
. Aqui, depois de dividir por cos x, temos y' = tan x + (2/cos x),y, ou seja
dydx = tan x + 2cos xy
não rola isolar as variáveis apenas em lados diferentes (sempre sobra um y misturado com função de x). Logo, não é separável.

Passo 4

Pra testar exatidão, a gente escreve a equação no formato
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
. Partindo de
(cos x),y' - 2y = sin x,
multiplicamos por dx:
(cos x),dy - 2y,dx = sin x,dx
Reescrevendo em forma padrão:
(-2y - sin x),dx + (cos x),dy = 0
Então
M(x,y) = -2y - sin x e N(x,y) = cos x.
Calcule:
partial M/partial y = -2 e
partial N/partial x = -sin x.
Como -2 neq -sin x, a equação não é exata.

Resposta

linear, não-separável e não-exata

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