Sejam a, b, d in Z, com d>0. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
i) Se existem r, s in Z tais que d=r a+s b, então d=m d c(a, b).
ii) Se existem r, s in Z tais que r a+s b=1, então m d c(a, b)=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos inteiros a,b,d com d>0 e queremos verificar duas afirmações sobre combinações lineares e o máximo divisor comum (mdc). O conteúdo é teoria de divisibilidade e identidade de Bézout, segundo a qual gcd(a,b) é o menor inteiro positivo que se escreve como combinação ra+sb.

Passo 2

Analisando a afirmação (i): “Se existem r,sinZ tais que d=ra+sb, então d=gcd(a,b)”. Isso é falso, pois basta um contraexemplo. Por exemplo, tome a=4, b=6, d=4. Se escolhermos r=1, s=0, temos d=1cdot4+0cdot6=4, mas gcd(4,6)=2, logo dneqgcd(a,b). Portanto (i) é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação (ii): “Se existem r,sinZ tais que ra+sb=1, então gcd(a,b)=1”. Pela propriedade de que qualquer divisor comum de a e b também divide ra+sb, qualquer divisor comum divide 1, logo só pode ser pm1. Como o gcd(a,b) é positivo, chega-se a gcd(a,b)=1. Essa é justamente a identidade de Bézout, então (ii) é verdadeira.

Resposta

i) Falsa. ii) Verdadeira.

Exercícios relacionados