Sejam
, com
. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contraexemplo.
i) Se existem
tais que
, então
.
ii) Se existem
tais que
, então
.
i) Se existem
ii) Se existem
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos inteiros
com
e queremos verificar duas afirmações sobre combinações lineares e o máximo divisor comum (mdc). O conteúdo é teoria de divisibilidade e identidade de Bézout, segundo a qual
é o menor inteiro positivo que se escreve como combinação
.
Passo 2
Analisando a afirmação (i): “Se existem
tais que
, então
”. Isso é falso, pois basta um contraexemplo. Por exemplo, tome
. Se escolhermos
, temos
, mas
, logo
. Portanto (i) é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação (ii): “Se existem
tais que
, então
”. Pela propriedade de que qualquer divisor comum de
e
também divide
, qualquer divisor comum divide 1, logo só pode ser
. Como o
é positivo, chega-se a
. Essa é justamente a identidade de Bézout, então (ii) é verdadeira.
Resposta
i) Falsa. ii) Verdadeira.