. (6 pontos) Sejam V e W vetores paralelos e de sentidos opostos. Sabendo que \|V\|=2 e \|W\|=3, o valor de \alpha=(W+V) \cdot(2 V) é:
a). \alpha=20
b). \alpha=-4
c). \alpha=16
d). \alpha=4
e). \alpha=-20

Passo 1

O enunciado diz que \mathbf V e \mathbf W são paralelos e de sentidos opostos, com \|\mathbf V\|=2 e \|\mathbf W\|=3. Queremos calcular \alpha=(\mathbf W+\mathbf V)\cdot(2\mathbf V). Vamos usar propriedades de vetores paralelos e produto escalar.

Passo 2

Como são paralelos e sentidos opostos, temos \mathbf W = -k\,\mathbf V para algum k>0. Tomando norma em ambos os lados:
\|\mathbf W\| = k\,\|\mathbf V\|
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3 = k\cdot 2 \implies k = \tfrac32,
portanto \mathbf W = -\tfrac32\,\mathbf V.

Passo 3

Calculamos a soma \mathbf W+\mathbf V:
\mathbf W+\mathbf V = -\tfrac32\,\mathbf V + \mathbf V = -\tfrac12\,\mathbf V.

Passo 4

Agora:
\alpha = (\mathbf W+\mathbf V)\cdot(2\mathbf V) = \bigl(-\tfrac12\,\mathbf V\bigr)\cdot(2\mathbf V) = -\tfrac12\cdot2\,(\mathbf V\cdot\mathbf V) = -1\,\|\mathbf V\|^2 = -1\cdot (2^2) = -4.

Resposta

\alpha=-4

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