( 0,25 pontos) Mediante as cotas de Lagrange e a sequência de Sturm de cada polinômio, determine o número exato de raízes positivas e negativas da equação polinomial p_{n}(x)=x^{7}-x+2= 0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número exato de raízes positivas e negativas da equação polinomial \,p_{n}(x)=x^{7}-x+2=0\,.
Informações dadas e relevantes:
\;p_{0}(x)=p_{n}(x)=x^{7}-x+2 (polinômio de grau 7, monico).
Os coeficientes não nulos são \;1 em x^{7}, -1 em x e 2 em x^{0}.
Devo usar cotas de Lagrange (para limitar o intervalo onde procurar raízes) e a sequência de Sturm (para contar exatamente as raízes em intervalos).

Passo 2

Explico a cota de Lagrange que vou usar: para um polinômio monico
x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{0},
toda raiz \,r\, satisfaz a cota (uma forma prática de Lagrange / Cauchy)
|r|\le 1+\max_{0\le k\le n-1}|a_{k}|.
Intuição rápida: se |x|>1+\max|a_k| então o termo x^n domina todos os outros, tornando impossível anular o polinômio. Aplicando ao nosso polinômio: os coeficientes (excluindo o 1 líder) têm máximos absolutos \max\{\,|{-1}|,|2|\,\}=2. Logo
|r|\le 1+2=3.
Portanto todas as raízes reais de \,p(x)\, estão contidas no intervalo [-3,3]. Isso me permite usar pontos finitos -3 e 3 para aplicar Sturm em vez de trabalhar diretamente com \pm\infty.

Passo 3

Vou construir a sequência de Sturm. Lembrete didático: a sequência de Sturm é
p_{0}=p,\quad p_{1}=p',\quad p_{k+1}=-\operatorname{rem}(p_{k-1},p_{k})
onde \operatorname{rem} é o resto da divisão polinomial. Para um valor x fixo, contamos o número de variações de sinal na sequência (p_{0}(x),p_{1}(x),p_{2}(x),\dots); chamamos esse número de V(x). O teorema de Sturm diz que o número de raízes reais simples de p em (a,b] é V(a)-V(b). (Se houver raízes múltiplas, há tratamentos adicionais, mas aqui não acontecerá.)

Passo 4

Calculamos os dois primeiros polinômios da sequência:
p_{0}(x)=x^{7}-x+2,
p_{1}(x)=p_{0}'(x)=7x^{6}-1.

Passo 5

Agora precisamos do resto da divisão de p_{0} por p_{1}. Faço a divisão passo a passo (mostro o termo principal do quociente e o resto):
  • O quociente principal é \dfrac{1}{7}x, pois \dfrac{x^{7}}{7x^{6}}=\dfrac{1}{7}x.
  • Multiplicando: \dfrac{1}{7}x\cdot(7x^{6}-1)=x^{7}-\dfrac{1}{7}x.
  • Subtraindo de p_{0}:
(x^{7}-x+2)-\left(x^{7}-\tfrac{1}{7}x\right)= -x+2+\tfrac{1}{7}x = -\tfrac{6}{7}x+2.
Então o resto é -\tfrac{6}{7}x+2. Pela definição da sequência de Sturm tomamos
p_{2}(x) = -\bigl(\text{resto}\bigr)= -\bigl(-\tfrac{6}{7}x+2\bigr)=\tfrac{6}{7}x-2.

Passo 6

Precisamos agora de p_{3}=-\operatorname{rem}(p_{1},p_{2}). Observação prática (muito útil): p_{2} é linear; escrevemo‑lo como
p_{2}(x)=\tfrac{6}{7}x-2=\tfrac{6}{7}\bigl(x-\tfrac{7}{3}\bigr).
Se dividimos p_{1} por p_{2}, o resto é constante e vale p_{1} avaliado na raiz de p_{2}, isto é em x=\tfrac{7}{3}. Portanto
\operatorname{rem}(p_{1},p_{2})=p_{1}\!\left(\tfrac{7}{3}\right).
Calculemos:
p_{1}\!\left(\tfrac{7}{3}\right)=7\left(\tfrac{7}{3}\right)^{6}-1.
A potência é \left(\tfrac{7}{3}\right)^{6}=\dfrac{7^{6}}{3^{6}}=\dfrac{117649}{729}. Multiplicando por 7 obtemos
7\left(\tfrac{7}{3}\right)^{6}=\dfrac{823543}{729}.
Subtraindo 1=\dfrac{729}{729}
p_{1}\!\left(\tfrac{7}{3}\right)=\dfrac{823543-729}{729}=\dfrac{822814}{729}.
Portanto o resto é positivo e
p_{3}(x)=-\operatorname{rem}(p_{1},p_{2})=-\dfrac{822814}{729},
uma constante negativa.

Passo 7

Resumindo, a sequência de Sturm que usaremos é:
p_{0}(x)=x^{7}-x+2,
p_{1}(x)=7x^{6}-1,
p_{2}(x)=\tfrac{6}{7}x-2,
p_{3}(x)=-\dfrac{822814}{729}\\ (<0).
Agora vamos avaliar sinais desses polinômios nos pontos relevantes -3,\;0,\;3 (lembre: por Lagrange todas as raízes estão em [-3,3]).

Passo 8

Avaliação em x=3:
p_{0}(3)=3^{7}-3+2=2187-3+2=2186>0,
p_{1}(3)=7\cdot 3^{6}-1=7\cdot 729-1=5103-1=5102>0,
p_{2}(3)=\tfrac{6}{7}\cdot 3-2=\tfrac{18}{7}-2=\tfrac{4}{7}>0,
p_{3}(3)=-\dfrac{822814}{729}<0.
Sequência de sinais em x=3: +,\;+\;,\;+\;,\;-. Número de variações de sinal V(3)=1.

Passo 9

Avaliação em x=0:
p_{0}(0)=2>0,
p_{1}(0)=-1<0,
p_{2}(0)=-2<0,
p_{3}(0)=-\dfrac{822814}{729}<0.
Sequência de sinais em x=0: +,\;-,\;-,\;-. Número de variações V(0)=1.

Passo 10

Com Sturm, o número de raízes positivas (no intervalo (0,3], que contém todas as positivas) é
\#\{\text{raízes em }(0,3]\}=V(0)-V(3)=1-1=0.í
Logo não há raízes positivas.

Passo 11

Avaliação em x=-3:
p_{0}(-3)=(-3)^{7}-(-3)+2=-2187+3+2=-2182<0,
p_{1}(-3)=7\cdot 3^{6}-1=5102>0\quad(\text{pois }x^{6}=3^{6}),
p_{2}(-3)=\tfrac{6}{7}\cdot(-3)-2=-\tfrac{18}{7}-2=-\tfrac{32}{7}<0,
p_{3}(-3)=-\dfrac{822814}{729}<0.
Sequência de sinais em x=-3: -,\;+\;,\;-\;,\;-. Número de variações V(-3)=2.

Passo 12

O número de raízes negativas (no intervalo [-3,0), que contém todas as negativas) é
\#\{\text{raízes em }[-3,0)\}=V(-3)-V(0)=2-1=1.í
Portanto existe exatamente uma raiz negativa. Como o polinômio tem grau ímpar e encontramos exatamente uma raiz real no total (verificável pela diferença V(-3)-V(3)=2-1=1), concluímos que essa é a única raiz real e ela é negativa.

Resposta

Positivas: 0
Negativas: 1

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