( 0,25 pontos) Mediante as cotas de Lagrange e a sequência de Sturm de cada polinômio, determine o número exato de raízes positivas e negativas da equação polinomial
0.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número exato de raízes positivas e negativas da equação polinomial
.
Informações dadas e relevantes:
(polinômio de grau 7, monico).
Os coeficientes não nulos são em
,
em
e
em
.
Devo usar cotas de Lagrange (para limitar o intervalo onde procurar raízes) e a sequência de Sturm (para contar exatamente as raízes em intervalos).
Informações dadas e relevantes:
Os coeficientes não nulos são
Devo usar cotas de Lagrange (para limitar o intervalo onde procurar raízes) e a sequência de Sturm (para contar exatamente as raízes em intervalos).
Passo 2
Explico a cota de Lagrange que vou usar: para um polinômio monico
toda raiz
satisfaz a cota (uma forma prática de Lagrange / Cauchy)
Intuição rápida: se
então o termo
domina todos os outros, tornando impossível anular o polinômio. Aplicando ao nosso polinômio: os coeficientes (excluindo o 1 líder) têm máximos absolutos
. Logo
Portanto todas as raízes reais de
estão contidas no intervalo
. Isso me permite usar pontos finitos
e
para aplicar Sturm em vez de trabalhar diretamente com
.
Passo 3
Vou construir a sequência de Sturm. Lembrete didático: a sequência de Sturm é
onde
é o resto da divisão polinomial. Para um valor
fixo, contamos o número de variações de sinal na sequência
; chamamos esse número de
. O teorema de Sturm diz que o número de raízes reais simples de
em
é
. (Se houver raízes múltiplas, há tratamentos adicionais, mas aqui não acontecerá.)
Passo 4
Calculamos os dois primeiros polinômios da sequência:
Passo 5
Agora precisamos do resto da divisão de
por
. Faço a divisão passo a passo (mostro o termo principal do quociente e o resto):
- O quociente principal é
, pois . - Multiplicando:
. - Subtraindo de
:
Então o resto é
. Pela definição da sequência de Sturm tomamos
Passo 6
Precisamos agora de
. Observação prática (muito útil):
é linear; escrevemo‑lo como
Se dividimos
por
, o resto é constante e vale
avaliado na raiz de
, isto é em
. Portanto
Calculemos:
A potência é
. Multiplicando por
obtemos
Subtraindo
dá
Portanto o resto é positivo e
uma constante negativa.
Passo 7
Resumindo, a sequência de Sturm que usaremos é:
Agora vamos avaliar sinais desses polinômios nos pontos relevantes
(lembre: por Lagrange todas as raízes estão em
).
Passo 8
Avaliação em
:
Sequência de sinais em
:
. Número de variações de sinal
.
Passo 9
Avaliação em
:
Sequência de sinais em
:
. Número de variações
.
Passo 10
Com Sturm, o número de raízes positivas (no intervalo
, que contém todas as positivas) é
Logo não há raízes positivas.
Passo 11
Avaliação em
:
Sequência de sinais em
:
. Número de variações
.
Passo 12
O número de raízes negativas (no intervalo
, que contém todas as negativas) é
Portanto existe exatamente uma raiz negativa. Como o polinômio tem grau ímpar e encontramos exatamente uma raiz real no total (verificável pela diferença
), concluímos que essa é a única raiz real e ela é negativa.
Resposta
Positivas:
Negativas:
Negativas: