( 0,5 pontos) Seja f(x)=3 x-\cos x uma função definida no intervalo [0,1]. Caso exista raizes de f(x) neste intervalo, use o método de bisseção até k=5 e calcule um aproximante desta(s) raiz(es).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3x-\cos x definida no intervalo [0,1]. Pede que, caso existam raízes de f nesse intervalo, eu use o método da bisseção até k=5 e calcule um aproximante da(s) raiz(es).
Informações relevantes fornecidas:
\;f(x)=3x-\cos x.
\; Intervalo inicial: [0,1].
\;k=5 iterações de bisseção (ou seja, realizar 5 bisecções e dar o aproximante obtido).

Passo 2

Verificação da existência de raiz (usando o fato de que somas e composições de funções contínuas são contínuas):
A função x\mapsto 3x é contínua e x\mapsto\cos x também é contínua, logo f(x)=3x-\cos x é contínua em [0,1]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f(0) e f(1) tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (0,1).
Calculemos:
f(0)=3\cdot 0-\cos 0 = -1.
f(1)=3\cdot 1-\cos 1 = 3-\cos 1 \approx 3-0,5403023058681398 \approx 2,4596976941318602.
Como f(0)=-1<0 e f(1)\approx 2,4597>0, há uma mudança de sinal em [0,1] e, portanto, existe pelo menos uma raiz em (0,1).

Passo 3

Explicação didática do método da bisseção:
  • Começamos com um intervalo [a_0,b_0]=[0,1] tal que f(a_0) e f(b_0) têm sinais opostos.
  • Em cada iteração i calculamos o ponto médio
c_i=\frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2}.
  • Avaliamos f(c_i). Se f(c_i)=0 terminamos (encontramos a raiz). Se f(c_i) tem o mesmo sinal que f(a_{i-1}), então a raiz está no intervalo [c_i,b_{i-1}]; caso contrário, está em [a_{i-1},c_i].
  • Repetimos até k iterações. O aproximante após k iterações costuma ser o último ponto médio c_k.
  • Erro garantido: se o comprimento inicial do intervalo é L_0=b_0-a_0, após k iterações o comprimento do intervalo é L_k=\dfrac{L_0}{2^k} e a distância máxima entre c_k e a raiz real é no máximo \dfrac{L_k}{2}=\dfrac{L_0}{2^{k+1}}. Aqui L_0=1, logo o erro máximo após k=5 iterações é \dfrac{1}{2^{6}}=\dfrac{1}{64}\approx 0,015625.

Passo 4

Intervalo inicial: [a_0,b_0]=[0,1].
Calcule c_1:
c_1=\frac{0+1}{2}=0,5.
Avalie f(c_1):
f(0,5)=3\cdot 0,5-\cos 0,5 = 1,5 - \cos 0,5 \approx 1,5 - 0,8775825618903728 \approx 0,6224174381096272.
Como f(0)=-1<0 e f(0,5)\approx 0,6224>0, a raiz está em [0,0,5]. Atualizamos [a_1,b_1]=[0,0,5].

Passo 5

Intervalo atual: [a_1,b_1]=[0,0,5].
Calcule c_2:
c_2=\frac{0+0,5}{2}=0,25.
Avalie f(c_2):
f(0,25)=3\cdot 0,25-\cos 0,25 = 0,75 - \cos 0,25 \approx 0,75 - 0,9689124217106447 \approx -0,21891242171064466.
Como f(0,25)<0 e f(0,5)>0, a raiz está em [0,25,\,0,5]. Atualizamos [a_2,b_2]=[0,25,0,5].

Passo 6

Intervalo atual: [a_2,b_2]=[0,25,0,5].
Calcule c_3:
c_3=\frac{0,25+0,5}{2}=0,375.
Avalie f(c_3):
f(0,375)=3\cdot 0,375-\cos 0,375 = 1,125 - \cos 0,375 \approx 1,125 - 0,9305076219120727 \approx 0,19449237808792734.
Como f(0,25)<0 e f(0,375)>0, a raiz está em [0,25,\,0,375]. Atualizamos [a_3,b_3]=[0,25,0,375].

Passo 7

Intervalo atual: [a_3,b_3]=[0,25,0,375].
Calcule c_4:
c_4=\frac{0,25+0,375}{2}=0,3125.
Avalie f(c_4) (usei expansão em série para \cos com precisão suficiente):
\cos 0,3125 \approx 0,951567945462\quad\Rightarrow\quad f(0,3125)=3\cdot 0,3125-\cos 0,3125 \approx 0,9375 - 0,951567945462 \approx -0,014067945462.
Como f(0,3125)<0 e f(0,375)>0, a raiz está em [0,3125,\,0,375]. Atualizamos [a_4,b_4]=[0,3125,0,375].

Passo 8

Intervalo atual: [a_4,b_4]=[0,3125,0,375].
Calcule c_5:
c_5=\frac{0,3125+0,375}{2}=0,34375.
Avalie f(c_5) (novamente aproximando \cos por série com precisão suficiente):
\cos 0,34375 \approx 0,9414975509673\quad\Rightarrow\quad f(0,34375)=3\cdot 0,34375-\cos 0,34375 \approx 1,03125 - 0,9414975509673 \approx 0,0897524490327.
Aqui f(0,3125)<0 e f(0,34375)>0, então após 5 iterações sabemos que a raiz está no intervalo [0,3125,\,0,34375].

Passo 9

Conclusão sobre o aproximante pedido: o aproximante obtido pela bisseção após k=5 iterações é o último ponto médio
c_5=0,34375.
Garantia de erro: o erro máximo é menor ou igual a
\frac{1}{2^{6}}=\frac{1}{64}\approx 0,015625,
ou seja, a raiz real está em [0,34375-0,015625,\;0,34375+0,015625]=[0,328125,\;0,359375], e de fato a bisseção localizou a raiz em [0,3125,\,0,34375] conforme as avaliações de sinal.

Resposta

x \approx 0,34375

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