( 0,5 pontos) Seja
uma função definida no intervalo
. Caso exista raizes de
neste intervalo, use o método de bisseção até
e calcule um aproximante desta(s) raiz(es).
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
. Pede que, caso existam raízes de
nesse intervalo, eu use o método da bisseção até
e calcule um aproximante da(s) raiz(es).
Informações relevantes fornecidas:
.
Intervalo inicial:
.
iterações de bisseção (ou seja, realizar 5 bisecções e dar o aproximante obtido).
Passo 2
Verificação da existência de raiz (usando o fato de que somas e composições de funções contínuas são contínuas):
A função é contínua e
também é contínua, logo
é contínua em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se
e
tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em
.
A função
Calculemos:
Como
e
, há uma mudança de sinal em
e, portanto, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Explicação didática do método da bisseção:
- Começamos com um intervalo
tal que e têm sinais opostos. - Em cada iteração
calculamos o ponto médio
- Avaliamos
. Se terminamos (encontramos a raiz). Se tem o mesmo sinal que , então a raiz está no intervalo ; caso contrário, está em . - Repetimos até
iterações. O aproximante após iterações costuma ser o último ponto médio . - Erro garantido: se o comprimento inicial do intervalo é
, após iterações o comprimento do intervalo é e a distância máxima entre e a raiz real é no máximo . Aqui , logo o erro máximo após iterações é .
Passo 4
Intervalo inicial:
.
Calcule
:
Avalie
:
Como
e
, a raiz está em
. Atualizamos
.
Passo 5
Intervalo atual:
.
Calcule
:
Avalie
:
Como
e
, a raiz está em
. Atualizamos
.
Passo 6
Intervalo atual:
.
Calcule
:
Avalie
:
Como
e
, a raiz está em
. Atualizamos
.
Passo 7
Intervalo atual:
.
Calcule
:
Avalie
(usei expansão em série para
com precisão suficiente):
Como
e
, a raiz está em
. Atualizamos
.
Passo 8
Intervalo atual:
.
Calcule
:
Avalie
(novamente aproximando
por série com precisão suficiente):
Aqui
e
, então após 5 iterações sabemos que a raiz está no intervalo
.
Passo 9
Conclusão sobre o aproximante pedido: o aproximante obtido pela bisseção após
iterações é o último ponto médio
Garantia de erro: o erro máximo é menor ou igual a
ou seja, a raiz real está em
, e de fato a bisseção localizou a raiz em
conforme as avaliações de sinal.