( 0,25 pontos) Seja f(x)=e^{-x}-\operatorname{sen}(x / 2). Complete a tabela abaixo para encontrar intervalo(s) que contenha ao menos uma raiz \xi de f(x).
x f(x)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4

Passo 1

O enunciado pede que a gente complete a tabela com os valores de f(x)=e^{-x}-\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) nos pontos x=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, e que, a partir dessa tabela, encontre intervalo(s) entre inteiros que contenham ao menos uma raiz \xi de f. Informações dadas que vamos usar:
\text{função: }f(x)=e^{-x}-\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)çã
valores de x: -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
Não há outras informações faltando.

Passo 2

Observação importante (ferramenta que vamos usar): tanto a função exponencial x\mapsto e^{-x} quanto a função seno x\mapsto\operatorname{sen}(x/2) são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Soma e diferença de funções contínuas são contínuas, logo f é contínua em \mathbb{R}. Pelo Teorema do Valor Intermediário (Teorema de Bolzano), se f é contínua em um intervalo e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz \xi\in(a,b) tal que f(\xi)=0. Portanto, para encontrar intervalos que contenham raízes basta calcular os sinais de f nos pontos inteiros e procurar mudanças de sinal entre inteiros consecutivos.

Passo 3

Vamos calcular f(-4). Primeiro calcule cada termo:
e^{-(-4)}=e^{4}\approx 54,598150\quad\text{(aprox.)}
\operatorname{sen}\!\left(\frac{-4}{2}\right)=\operatorname{sen}(-2)\approx -0,909297
Agora subtraímos:
f(-4)=e^{4}-\operatorname{sen}(-2)\approx 54,598150-(-0,909297)=55,507447.

Passo 4

Agora f(-3):
e^{-(-3)}=e^{3}\approx 20,085537
\operatorname{sen}\!\left(\frac{-3}{2}\right)=\operatorname{sen}(-1{,}5)\approx -0,997495
f(-3)=e^{3}-\operatorname{sen}(-1{,}5)\approx 20,085537-(-0,997495)=21,083032.

Passo 5

Agora f(-2):
e^{-(-2)}=e^{2}\approx 7,389056
\operatorname{sen}\!\left(\frac{-2}{2}\right)=\operatorname{sen}(-1)\approx -0,841471
f(-2)=e^{2}-\operatorname{sen}(-1)\approx 7,389056-(-0,841471)=8,230527.

Passo 6

Agora f(-1):
e^{-(-1)}=e^{1}\approx 2,718282
\operatorname{sen}\!\left(\frac{-1}{2}\right)=\operatorname{sen}(-0{,}5)\approx -0,479426
f(-1)=e^{1}-\operatorname{sen}(-0{,}5)\approx 2,718282-(-0,479426)=3,197708.

Passo 7

Agora f(0):
e^{0}=1,\qquad \operatorname{sen}\!\left(\frac{0}{2}\right)=\operatorname{sen}(0)=0
f(0)=1-0=1.

Passo 8

Agora f(1):
e^{-1}\approx 0,367879
\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{2}\right)=\operatorname{sen}(0{,}5)\approx 0,479426
f(1)=e^{-1}-\operatorname{sen}(0{,}5)\approx 0,367879-0,479426=-0,111547.

Passo 9

Agora f(2):
e^{-2}\approx 0,135335
\operatorname{sen}\!\left(\frac{2}{2}\right)=\operatorname{sen}(1)\approx 0,841471
f(2)=e^{-2}-\operatorname{sen}(1)\approx 0,135335-0,841471=-0,706136.

Passo 10

Agora f(3):
e^{-3}\approx 0,049787
\operatorname{sen}\!\left(\frac{3}{2}\right)=\operatorname{sen}(1{,}5)\approx 0,997495
f(3)=e^{-3}-\operatorname{sen}(1{,}5)\approx 0,049787-0,997495=-0,947708.

Passo 11

Agora f(4):
e^{-4}\approx 0,018316
\operatorname{sen}\!\left(\frac{4}{2}\right)=\operatorname{sen}(2)\approx 0,909297
f(4)=e^{-4}-\operatorname{sen}(2)\approx 0,018316-0,909297=-0,890982.

Passo 12

Com todos os valores calculados, observamos os sinais:
\begin{array}{l} f(-4)\approx 55,507447\;(\text{positivo})\\\ f(-3)\approx 21,083032\;(\text{positivo})\\\ f(-2)\approx 8,230527\;(\text{positivo})\\\ f(-1)\approx 3,197708\;(\text{positivo})\\\ f(0)=1\;(\text{positivo})\\\ f(1)\approx -0,111547\;(\text{negativo})\\\ f(2)\approx -0,706136\;(\text{negativo})\\\ f(3)\approx -0,947708\;(\text{negativo})\\\ f(4)\approx -0,890982\;(\text{negativo}) \end{array}
Só há mudança de sinal entre x=0 (positivo) e x=1 (negativo). Pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz \xi em (0,1). Não há outras mudanças de sinal entre inteiros, então não podemos garantir raízes em outros intervalos inteiros adjacentes.

Resposta

-4:\;f(-4)\approx 55,507447
-3:\;f(-3)\approx 21,083032
-2:\;f(-2)\approx 8,230527
-1:\;f(-1)\approx 3,197708
0:\;f(0)=1
1:\;f(1)\approx -0,111547
2:\;f(2)\approx -0,706136
3:\;f(3)\approx -0,947708
4:\;f(4)\approx -0,890982
Intervalo que contém ao menos uma raiz: (0,1).

Exercícios relacionados