( 0,25 pontos) Seja
. Complete a tabela abaixo para encontrar intervalo(s) que contenha ao menos uma raiz
de
.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
|
|
|
| -4 | |
| -3 | |
| -2 | |
| -1 | |
| 0 | |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 |
Passo 1
O enunciado pede que a gente complete a tabela com os valores de
nos pontos
, e que, a partir dessa tabela, encontre intervalo(s) entre inteiros que contenham ao menos uma raiz
de
. Informações dadas que vamos usar:
valores de
:
.
Não há outras informações faltando.
Não há outras informações faltando.
Passo 2
Observação importante (ferramenta que vamos usar): tanto a função exponencial
quanto a função seno
são funções contínuas em todo
. Soma e diferença de funções contínuas são contínuas, logo
é contínua em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário (Teorema de Bolzano), se
é contínua em um intervalo e
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz
tal que
. Portanto, para encontrar intervalos que contenham raízes basta calcular os sinais de
nos pontos inteiros e procurar mudanças de sinal entre inteiros consecutivos.
Passo 3
Vamos calcular
. Primeiro calcule cada termo:
Agora subtraímos:
Passo 4
Agora
:
Passo 5
Agora
:
Passo 6
Agora
:
Passo 7
Agora
:
Passo 8
Agora
:
Passo 9
Agora
:
Passo 10
Agora
:
Passo 11
Agora
:
Passo 12
Com todos os valores calculados, observamos os sinais:
Só há mudança de sinal entre
(positivo) e
(negativo). Pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz
em
. Não há outras mudanças de sinal entre inteiros, então não podemos garantir raízes em outros intervalos inteiros adjacentes.
Resposta
Intervalo que contém ao menos uma raiz:
.