( 0,25 pontos) Mediante a regra de sinais de Descartes, forneça estimativas sobre o número de raízes positivas e negativas da equação polinomial
Passo 1
O enunciado dá o polinómio
e pede estimativas (pela regra de sinais de Descartes) sobre o número de raízes positivas e o número de raízes negativas da equação
.\n
Informações relevantes que temos: os coeficientes, em ordem de potências decrescentes, são
Informações relevantes que temos: os coeficientes, em ordem de potências decrescentes, são
onde o
é o coeficiente de
, os zeros correspondem às potências
, o
é o coeficiente de
e
é o termo independente. Não vamos calcular raízes explicitamente, apenas usar a regra de Descartes para estimar quantas positivas e quantas negativas podem ocorrer.
Passo 2
Vou explicar a regra de sinais de Descartes de maneira bem didática e passo-a-passo:\n
- A regra para raízes positivas diz: escreva os coeficientes do polinómio em ordem de potências decrescentes (inclua zeros). Conte quantas vezes o sinal muda quando você passa de um coeficiente não nulo ao próximo coeficiente não nulo. Esse número de trocas de sinal chama-se
. O número de raízes reais positivas (contando multiplicidade) é igual a ou a ou a , etc., ou seja, pode diminuir de 2 em 2 até chegar a um número não-negativo.\n - Para raízes negativas: substituímos
por e aplicamos a mesma regra ao polinómio . Chamamos o número de trocas de sinal em de . O número de raízes reais negativas (contando multiplicidade) é igual a ou a ou , etc.\n
Observações importantes (práticas para a prova): zeros entre coeficientes não contam como trocas — você ignora zeros e compara sinais entre coeficientes não nulos consecutivos. E a regra conta multiplicidade: se uma raiz positiva tem multiplicidade 2, ela é contada duas vezes no total.
Passo 3
Aplicando a regra para raízes positivas ao polinómio dado:\n
Coeficientes (já escritos no Passo 1): .\n
Ignorando zeros, a sequência de coeficientes não nulos é .\n
Agora conte as trocas de sinal entre esses termos:\n
Coeficientes (já escritos no Passo 1):
Ignorando zeros, a sequência de coeficientes não nulos é
Agora conte as trocas de sinal entre esses termos:\n
- De
para há uma troca de sinal (positivo para negativo) — conta .\n - De
para há outra troca de sinal (negativo para positivo) — conta .\n
Total de trocas de sinal para: .\n
Pela regra de Descartes, o número de raízes reais positivas (com multiplicidade) éou . Portanto as possibilidades para o número de raízes positivas são ou .
Passo 4
Agora aplicamos a regra para raízes negativas. Primeiro formamos
:\n
Os coeficientes em ordem decrescente são
. Ignorando zeros, a sequência de coeficientes não nulos é
.\n
Conte as trocas de sinal:\n
Conte as trocas de sinal:\n
- De
para há uma troca (negativo para positivo) — conta .\n - De
para não há troca (positivo para positivo) — conta .\n
Total de trocas de sinal para: .\n
Pela regra de Descartes, o número de raízes reais negativas (com multiplicidade) éou . Como não podemos ter número negativo de raízes, a única possibilidade viável é . Logo existe exatamente uma raiz real negativa.
Passo 5
Resumo e interpretação final (dicas para a prova):\n
- Para positivas obtivemos
, então pode haver raízes positivas reais (contando multiplicidade) ou (caso em que as duas “faltantes” seriam substituídas por pares de raízes complexas conjugadas).\n - Para negativas obtivemos
, portanto existe exatamente raiz real negativa (contando multiplicidade). Isso é firme — a regra não permite reduzir por .\n
Um comentário extra para te tranquilizar: o grau do polinómio é(ímpar), então sabemos que existe pelo menos uma raiz real — isso é coerente com já termos garantida uma raiz negativa. Se houver também positivas, então teremos raízes reais no total e as outras serão complexas em dois pares conjugados; se houver positivas, então teremos apenas real (a negativa) e complexas formando três pares conjugados. Ambas as situações são possíveis segundo a regra de Descartes; a regra não diz quais são as raízes, só dá essas possibilidades de contagem.
Resposta
Número de raízes positivas:
ou
\n
Número de raízes negativas:
Número de raízes negativas: