( 0,25 pontos) Mediante a regra de sinais de Descartes, forneça estimativas sobre o número de raízes positivas e negativas da equação polinomial p_{n}(x)=x^{7}-x+2=0

Passo 1

O enunciado dá o polinómio \;p_{n}(x)=x^{7}-x+2\; e pede estimativas (pela regra de sinais de Descartes) sobre o número de raízes positivas e o número de raízes negativas da equação \;p_{n}(x)=0.\n
Informações relevantes que temos: os coeficientes, em ordem de potências decrescentes, são
\{1,0,0,0,0,0,-1,2\},
onde o 1 é o coeficiente de x^{7}, os zeros correspondem às potências x^{6},x^{5},\dots,x^{2}, o -1 é o coeficiente de x e 2 é o termo independente. Não vamos calcular raízes explicitamente, apenas usar a regra de Descartes para estimar quantas positivas e quantas negativas podem ocorrer.

Passo 2

Vou explicar a regra de sinais de Descartes de maneira bem didática e passo-a-passo:\n
  • A regra para raízes positivas diz: escreva os coeficientes do polinómio em ordem de potências decrescentes (inclua zeros). Conte quantas vezes o sinal muda quando você passa de um coeficiente não nulo ao próximo coeficiente não nulo. Esse número de trocas de sinal chama-se V_+. O número de raízes reais positivas (contando multiplicidade) é igual a V_+ ou a V_+-2 ou a V_+-4, etc., ou seja, pode diminuir de 2 em 2 até chegar a um número não-negativo.\n
  • Para raízes negativas: substituímos x por -x e aplicamos a mesma regra ao polinómio p(-x). Chamamos o número de trocas de sinal em p(-x) de V_-. O número de raízes reais negativas (contando multiplicidade) é igual a V_- ou a V_--2 ou V_--4, etc.\n
    Observações importantes (práticas para a prova): zeros entre coeficientes não contam como trocas — você ignora zeros e compara sinais entre coeficientes não nulos consecutivos. E a regra conta multiplicidade: se uma raiz positiva tem multiplicidade 2, ela é contada duas vezes no total.

Passo 3

Aplicando a regra para raízes positivas ao polinómio dado:\n
Coeficientes (já escritos no Passo 1): \{1,0,0,0,0,0,-1,2\}.\n
Ignorando zeros, a sequência de coeficientes não nulos é \{1,-1,2\}.\n
Agora conte as trocas de sinal entre esses termos:\n
  • De 1 para -1 há uma troca de sinal (positivo para negativo) — conta 1.\n
  • De -1 para 2 há outra troca de sinal (negativo para positivo) — conta 1.\n
    Total de trocas de sinal para p(x): \;V_{+}=2.\n
    Pela regra de Descartes, o número de raízes reais positivas (com multiplicidade) é \;2 ou \;2-2=0. Portanto as possibilidades para o número de raízes positivas são \;2 ou \;0.

Passo 4

Agora aplicamos a regra para raízes negativas. Primeiro formamos p(-x):\n
p(-x)=(-x)^{7}-(-x)+2=-x^{7}+x+2.
Os coeficientes em ordem decrescente são \{-1,0,0,0,0,0,1,2\}. Ignorando zeros, a sequência de coeficientes não nulos é \{-1,1,2\}.\n
Conte as trocas de sinal:\n
  • De -1 para 1 há uma troca (negativo para positivo) — conta 1.\n
  • De 1 para 2 não há troca (positivo para positivo) — conta 0.\n
    Total de trocas de sinal para p(-x): \;V_{-}=1.\n
    Pela regra de Descartes, o número de raízes reais negativas (com multiplicidade) é \;1 ou \;1-2=-1. Como não podemos ter número negativo de raízes, a única possibilidade viável é \;1. Logo existe exatamente uma raiz real negativa.

Passo 5

Resumo e interpretação final (dicas para a prova):\n
  • Para positivas obtivemos \;V_{+}=2, então pode haver 2 raízes positivas reais (contando multiplicidade) ou \;0 (caso em que as duas “faltantes” seriam substituídas por pares de raízes complexas conjugadas).\n
  • Para negativas obtivemos \;V_{-}=1, portanto existe exatamente \;1 raiz real negativa (contando multiplicidade). Isso é firme — a regra não permite reduzir 1 por 2.\n
    Um comentário extra para te tranquilizar: o grau do polinómio é 7 (ímpar), então sabemos que existe pelo menos uma raiz real — isso é coerente com já termos garantida uma raiz negativa. Se houver também 2 positivas, então teremos 3 raízes reais no total e as outras 4 serão complexas em dois pares conjugados; se houver 0 positivas, então teremos apenas 1 real (a negativa) e 6 complexas formando três pares conjugados. Ambas as situações são possíveis segundo a regra de Descartes; a regra não diz quais são as raízes, só dá essas possibilidades de contagem.

Resposta

Número de raízes positivas: 2 ou 0\n
Número de raízes negativas: 1

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