(25 pontos) Um pesquisador deseja aproximar o valor de uma função no ponto x=30, utilizando os dados coletados na tabela abaixo:
x 5 10 15
f(x) 17 24 31
a) Qual é o método adequado para resolver o problema? Justifique sua resposta.
b) Aplique o método escolhido por você na parte a) desta questão para encontrar uma aproximação para o ponto x=30. Utilize uma reta (polinômio de grau 1) para efetuar esta aproximação.

Passo 1

O enunciado dá três pontos (5,17), (10,24) e (15,31) e pede uma aproximação de f(30) usando um polinômio de grau 1. O conteúdo envolve ajuste de curva linear e o que vamos precisar é o método de regressão linear por mínimos quadrados para encontrar a reta que melhor “passa” por esses pontos.

Passo 2

Como temos três pontos e queremos um polinômio de grau 1 (reta), o método adequado é a regressão linear pelo método dos mínimos quadrados. Ele minimiza a soma dos quadrados dos resíduos y_i - (a x_i+b), garantindo a melhor aproximação linear global aos dados.

Passo 3

Calculamos o coeficiente angular a pela fórmula
a \;=\;\frac{\sum_{i=1}^3 (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_{i=1}^3 (x_i-\bar x)^2},
onde
\bar x = \frac{5+10+15}{3} = 10, \quad \bar y = \frac{17+24+31}{3} = 24.
Então o numerador é
(5-10)(17-24)+(10-10)(24-24)+(15-10)(31-24) = (-5)(-7)+0+5\cdot7 = 70,
e o denominador é
(-5)^2+0^2+5^2 = 25+0+25 = 50.
Logo
a = \frac{70}{50} = 1,4.

Passo 4

O coeficiente linear b vem de
b = \bar y - a\,\bar x = 24 - 1,4\cdot10 = 10.
Portanto a reta de regressão é
y = 1,4\,x + 10.

Passo 5

Para aproximar em x=30, basta avaliar a reta:
f(30)\approx 1,4\cdot30 + 10 = 42 + 10 = 52.

Resposta

a) O método adequado é a regressão linear pelo método dos mínimos quadrados, pois temos mais de dois pontos e queremos um polinômio de grau 1 que melhor se ajuste aos dados.
b) f(30)\approx52.

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