Exemplo 9.9 Seja
Identifique a singularidade de mais alta ordem
da função, e obtenha (o coeficiente da série de Laurent)
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para identificar a singularidade de maior ordem
e calcular o coeficiente
da série de Laurent em torno dessa singularidade. Vamos precisar:
- Reconhecer as singularidades isoladas e suas ordens.
- Fazer a expansão de Laurent perto da singularidade de ordem máxima, usando expansão binomial para a parte analítica.
Passo 2
As singularidades isoladas de
são
(polo de ordem 3) e
(polo de ordem 2). A singularidade de maior ordem é, portanto,
em
.
Passo 3
Para achar
fazemos a expansão de Laurent em torno de
. Defina
de modo que
. Então
Passo 4
Expanda
em série de potências de
. Chamando
, tem-se
Pela expansão binomial
, obtemos
Passo 5
Multiplicando por
para obter
,
Na série de Laurent, o coeficiente geral é
Passo 6
Queremos
, ou seja o termo com
. Isso ocorre quando
Logo
Resposta
A singularidade de maior ordem é um polo de ordem
em
, e o coeficiente correspondente é