Exemplo 9.9 Seja
f(z)=\frac{1}{(z-\mathrm{i})^{3}(z+\mathrm{i})^{2}}
Identifique a singularidade de mais alta ordem N da função, e obtenha (o coeficiente da série de Laurent) c_{-N}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=\frac{1}{(z-\mathrm{i})^{3}(z+\mathrm{i})^{2}}
e pede para identificar a singularidade de maior ordem N e calcular o coeficiente c_{-N} da série de Laurent em torno dessa singularidade. Vamos precisar:
  1. Reconhecer as singularidades isoladas e suas ordens.
  2. Fazer a expansão de Laurent perto da singularidade de ordem máxima, usando expansão binomial para a parte analítica.

Passo 2

As singularidades isoladas de f são z=\mathrm{i} (polo de ordem 3) e z=-\mathrm{i} (polo de ordem 2). A singularidade de maior ordem é, portanto,
N=3
em z_{0}=\mathrm{i}.

Passo 3

Para achar c_{-3} fazemos a expansão de Laurent em torno de z_{0}=\mathrm{i}. Defina
w = z - \mathrm{i},
de modo que z+\mathrm{i} = w + 2\mathrm{i}. Então
f(z)=\frac{1}{w^{3}\,(w+2\mathrm{i})^{2}}.

Passo 4

Expanda (w+2\mathrm{i})^{-2} em série de potências de w. Chamando A=2\mathrm{i}, tem-se
(w+A)^{-2} = A^{-2}\,(1 + \tfrac{w}{A})^{-2}.
Pela expansão binomial (1+u)^{-2}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)u^{k}, obtemos
(w+2\mathrm{i})^{-2} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)\,\frac{w^{k}}{A^{\,k+2}} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)\,\frac{w^{k}}{(2\mathrm{i})^{k+2}}.

Passo 5

Multiplicando por 1/w^{3} para obter f,
f(z) =\frac{1}{w^{3}}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)\,\frac{w^{k}}{(2\mathrm{i})^{k+2}} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(k+1)\,\frac{w^{\,k-3}}{(2\mathrm{i})^{k+2}}.
Na série de Laurent, o coeficiente geral é
c_{n} = (-1)^{k}(k+1)\frac{1}{(2\mathrm{i})^{k+2}} \quad\text{com }n = k-3.

Passo 6

Queremos c_{-3}, ou seja o termo com w^{-3}. Isso ocorre quando
k-3 = -3 \quad\Longrightarrow\quad k=0.
Logo
c_{-3} = (-1)^{0}(0+1)\frac{1}{(2\mathrm{i})^{0+2}} =\frac{1}{(2\mathrm{i})^{2}} =\frac{1}{-4} =-\tfrac{1}{4}.

Resposta

A singularidade de maior ordem é um polo de ordem N=3 em z=\mathrm{i}, e o coeficiente correspondente é
c_{-3} = -\tfrac{1}{4}.

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