Exemplo 9.10 Obtenha o resíduo (isto é: o coeficiente c_{-1} da série de Laurent respectiva) de
f(z)=\frac{z}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}
em torno de z=\mathrm{i}.

Passo 1

O enunciado pede o resíduo de
f(z) = \frac{z}{\bigl(z^{2}+1\bigr)^{2}}
em torno de z=\mathrm{i}. Esse é um problema de cálculo de resíduos em polos de ordem maior que 1, e vamos usar a fórmula geral de resíduo para um polo de ordem m.

Passo 2

Note que
\bigl(z^{2}+1\bigr)^{2} = \bigl(z-\mathrm{i}\bigr)^{2}\bigl(z+\mathrm{i}\bigr)^{2},
ou seja, z=\mathrm{i} é um polo de ordem 2. Para um polo de ordem 2 em z_{0}, a fórmula do resíduo é
\operatorname{Res}\bigl(f,z_{0}\bigr) =\frac{1}{1!}\lim_{z\to z_{0}}\frac{d}{dz}\!\Bigl[(z-z_{0})^{2}f(z)\Bigr].

Passo 3

Aplicando para z_{0}=\mathrm{i}, primeiro montamos
(z-\mathrm{i})^{2}f(z) =\frac{z}{(z+\mathrm{i})^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos em relação a z:
\frac{d}{dz}\!\Bigl(\frac{z}{(z+\mathrm{i})^{2}}\Bigr) =(z+\mathrm{i})^{-2} -2z\,(z+\mathrm{i})^{-3} =\frac{(z+\mathrm{i})-2z}{(z+\mathrm{i})^{3}} =\frac{\mathrm{i}-z}{(z+\mathrm{i})^{3}}.

Passo 5

Por fim, fazemos o limite
\operatorname{Res}\bigl(f,\mathrm{i}\bigr) =\lim_{z\to \mathrm{i}}\frac{\mathrm{i}-z}{(z+\mathrm{i})^{3}} =\frac{\mathrm{i}-\mathrm{i}}{(2\mathrm{i})^{3}} =0.

Resposta

0

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