( \mathbf{2 5} pontos) Considerando a integral:
\int_{-3}^{5}(4 x-3)^{3} d x
resolvida no exercício 3 desta prova, encontre um limitante para o erro para o método dos trapézios.

Passo 1

O enunciado pede um limitante para o erro do método dos trapézios na aproximação da integral
\int_{-3}^{5}(4x-3)^3\,dx.
O conteúdo principal é usar a fórmula de erro do trapézio com n subintervalos:
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.

Passo 2

Identificamos
f(x)=(4x-3)^3.
Calculamos a primeira e a segunda derivada:
f'(x)=3(4x-3)^2\cdot4=12\,(4x-3)^2,
f''(x)=12\cdot2\,(4x-3)\cdot4=96\,(4x-3).

Passo 3

No intervalo [-3,5] temos
4x-3\in[-15,17],
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\max_{x\in[-3,5]}|f''(x)|=96\cdot17=1632.

Passo 4

Substituindo na fórmula do erro:
|E_T|\le \frac{(5-(-3))^3}{12\,n^2}\;1632 =\frac{8^3}{12\,n^2}\;1632 =\frac{512\cdot1632}{12\,n^2} =\frac{69632}{n^2}.

Resposta

|E_T|\le \frac{69632}{n^2}.

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