( 25 pontos) O problema de valor inicial a seguir descreve o movimento de um sistema massa/mola forçado com amortecimento,
Use o método da transformada de Laplace para achar a solução para todo
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede a solução para
usando transformada de Laplace. Vamos usar:
- Transformada de derivadas,
-
, - Teorema do deslocamento no tempo para inverter o termo com
.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO, usando
obtemos
Passo 3
Agrupando
e os termos conhecidos:
Passo 4
Invertendo a primeira fração: complete o quadrado em
e escreva
cuja transformada inversa é
Passo 5
Para o segundo termo use o teorema do deslocamento: se
então