( 25 pontos) O problema de valor inicial a seguir descreve o movimento de um sistema massa/mola forçado com amortecimento,
y^{\prime \prime}(t)+2 y^{\prime}(t)+5 y(t)=\delta(t-\pi) ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0 .
Use o método da transformada de Laplace para achar a solução para todo t>0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''(t)+2y'(t)+5y(t)=\delta(t-\pi),\quad y(0)=1,\;y'(0)=0,
e pede a solução para t>0 usando transformada de Laplace. Vamos usar:
  1. Transformada de derivadas,
  2. \mathcal{L}\{\delta(t-\pi)\}=e^{-\pi s},
  3. Teorema do deslocamento no tempo para inverter o termo com e^{-\pi s}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO, usando
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{\delta(t-\pi)\}=e^{-\pi s},
obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-0\bigr)+2\bigl(sY(s)-1\bigr)+5Y(s)=e^{-\pi s}.

Passo 3

Agrupando Y(s) e os termos conhecidos:
(s^2+2s+5)\,Y(s)-s-2=e^{-\pi s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s+2}{s^2+2s+5}+\frac{e^{-\pi s}}{s^2+2s+5}.

Passo 4

Invertendo a primeira fração: complete o quadrado em s^2+2s+5=(s+1)^2+2^2 e escreva
\frac{s+2}{(s+1)^2+2^2}=\frac{(s+1)+1}{(s+1)^2+2^2}
cuja transformada inversa é
e^{-t}\cos(2t)+\tfrac12\,e^{-t}\sin(2t).

Passo 5

Para o segundo termo use o teorema do deslocamento: se
G(s)=\frac1{(s+1)^2+2^2} \quad\Longrightarrow\quad g(t)=\tfrac12\,e^{-t}\sin(2t),
então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-\pi s}G(s)\} =g(t-\pi)\,u(t-\pi) =\tfrac12\,e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(2(t-\pi)\bigr)\,u(t-\pi).

Resposta

y(t) =e^{-t}\cos(2t)+\tfrac12\,e^{-t}\sin(2t) +\tfrac12\,e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(2(t-\pi)\bigr)\,u(t-\pi).

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